Movimiento Armónico Simple - Principios de la Ley de Hooke

Fundamentos del Movimiento Armónico Simple

El Movimiento Armónico Simple ocurre cuando un objeto oscila alrededor de su posición de equilibrio. La amplitud representa el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio, mientras que la elongación es el desplazamiento en cualquier momento.

La base física del MAS está en la Ley de Hooke: $\vec{F} = -K\cdot\Delta X$. Esta ecuación nos muestra que la fuerza es proporcional al desplazamiento pero en dirección opuesta (por eso el signo negativo). La constante $K$ es la constante del resorte que indica qué tan rígido es el resorte.

💡 Piensa en el MAS como un columpio: siempre hay una fuerza que te devuelve al centro cuando te alejas de la posición de equilibrio.

Cuando el objeto está en su posición de equilibrio ($\vec{0}$), no hay fuerza actuando sobre él. Cuanto más te alejas de esta posición, mayor será la fuerza que intenta regresarte al equilibrio.

Aplicaciones prácticas del MAS

Veamos un ejemplo concreto: un bloque atado a un resorte oscila sin fricción. La distancia entre la máxima elongación y la mínima compresión es 6 cm, y en 10 segundos pasa 20 veces por el punto de mínima compresión. ¿Qué podemos calcular?

El período ($T$) es el tiempo que tarda en completar una oscilación: $T=\frac{t}{n}=\frac{10s}{20}=0,5s$. La frecuencia ($f$) nos indica cuántas oscilaciones ocurren por segundo: $f=\frac{n}{t}=\frac{20}{10s}=2Hz$. Y la amplitud ($A$) es la mitad de la distancia total: $A=3cm$.

⚠️ No confundas la amplitud con la distancia total del movimiento. La amplitud es la mitad de esa distancia.

Otro problema interesante: un ascensor de carga (150 kg) con capacidad de 350 kg comprime sus resortes 3 cm cuando está a plena carga. Necesitamos encontrar la constante del resorte y cuánto se comprime sin carga.

Cálculos de constante elástica

Para resolver el problema del ascensor, primero calculamos la fuerza total sobre los resortes: $F = (m_p + m_{carga}) \cdot gravedad = (150 kg + 350 kg) \cdot 9,8 \frac{m}{s^2} = 4900 N$

Con esta fuerza, podemos determinar la constante del resorte usando: $K = \frac{F}{\Delta x} = \frac{4900 N}{0,03 m} = 163333,33 \frac{N}{m}$

Ahora, ¿cuánto se comprime el resorte solo con la plataforma vacía? Calculamos: $F_{plataforma} = 150 kg \cdot 9,8 \frac{m}{s^2} = 1470 N$

🔍 Mientras más grande sea la constante K, menos se deformará el resorte bajo la misma fuerza.

Por tanto, la compresión será: $X = \frac{F_p}{K} = \frac{1470 N}{163333,33 \frac{N}{m}} = 9 \cdot 10^{-3} m = 0,9 cm$

Ecuaciones fundamentales del MAS

La posición de un objeto en MAS está dada por: $X = A \cdot Cos(\omega t)$, donde $A$ es la amplitud, $\omega$ es la velocidad angular y $t$ es el tiempo.

La velocidad instantánea viene dada por: $V_x = -\omega A \cdot Sen(\omega t)$. Esto significa que la velocidad es máxima cuando pasas por la posición de equilibrio y cero en los puntos extremos.

La aceleración se calcula como: $a = -\omega^2 A \cdot Cos(\omega t) = -\omega^2 x$, indicando que la aceleración siempre apunta hacia la posición de equilibrio y es proporcional al desplazamiento.

🌟 Puedes relacionar todas estas ecuaciones: cuando la posición es máxima, la velocidad es cero y la aceleración es máxima.

Otras relaciones importantes:

• Velocidad máxima: $A\omega$
• Aceleración máxima: $A\omega^2$
• Energía mecánica total: $E_m = \frac{1}{2}KA^2$
• Relación entre frecuencia y constante del resorte: $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ y $\omega = \frac{2\pi}{T}$