Vectores Libres y Operaciones Básicas

Un vector se caracteriza por tener tres propiedades: dirección, sentido y magnitud. Dos vectores son iguales únicamente cuando comparten estas tres características.

Para sumar vectores, existen varios métodos. En el método consecutivo, colocamos un vector a continuación del otro (donde termina el primero, comienza el segundo) y trazamos un nuevo vector desde el origen del primero hasta el final del último. La suma de vectores es conmutativa, lo que significa que el orden de los sumandos no afecta el resultado.

💡 Una forma visual de entender la suma es mediante el método del paralelogramo: los vectores forman dos lados de un paralelogramo y la diagonal representa la suma.

También puedes aplicar la regla del polígono cuando sumas varios vectores: dibujas todos los vectores consecutivamente y el resultado es el vector que une el principio del primero con el final del último.

Resta de Vectores

La resta de vectores se entiende como la suma de un vector con el negativo del otro. Un vector negativo simplemente cambia su sentido (dirección opuesta) mientras mantiene la misma magnitud.

Cuando sumas vectores que tienen direcciones opuestas, estos pueden cancelarse. Si dos vectores tienen la misma magnitud pero sentidos contrarios, su suma es igual a cero, pues se anulan mutuamente.

Por otro lado, cuando sumas vectores que tienen la misma dirección, el resultado es un vector con la misma dirección pero con una magnitud igual a la suma de las magnitudes individuales.

🔍 ¡Atento! La resta de vectores no es conmutativa $A - B ≠ B - A$, a diferencia de la suma donde el orden no importa.

Vectores con Coordenadas

Los vectores pueden representarse mediante coordenadas en forma de matriz columna. En dos dimensiones, un vector se expresa como $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$, donde x e y son sus componentes.

Para determinar las componentes de un vector entre dos puntos, restas las coordenadas del punto final menos las del punto inicial. Por ejemplo, si tenemos los puntos (2,2) y (4,4), el vector resultante es $\vec{v} = \begin{bmatrix} 4-2 \ 4-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 2 \end{bmatrix}$.

Las operaciones con vectores en forma de coordenadas son sencillas. La suma y resta se realizan término a término: componente x con componente x, y con y. Por ejemplo, $\vec{v} + \vec{a} = \begin{bmatrix} 3 \ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ -3 \end{bmatrix}$.

📌 Recuerda que cuando no se especifica la posición de un vector, se asume que su origen está en el punto (0,0).

Operaciones en Múltiples Dimensiones

En tres dimensiones, los vectores se representan como $\begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}$. Las operaciones funcionan exactamente igual que en dos dimensiones, solo agregamos la componente z.

Es importante recordar que solo puedes operar vectores que tengan la misma dimensión. No puedes sumar un vector de dos dimensiones con uno de tres dimensiones.

La multiplicación de un vector por un escalar (un número real) afecta a la magnitud y posiblemente al sentido del vector. Si multiplicamos $\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \ 10 \end{bmatrix}$ por 5, obtenemos $5\vec{b} = \begin{bmatrix} 10 \ 50 \end{bmatrix}$, lo que alarga el vector.

🧩 Un truco útil: para acortar un vector, multiplícalo por un número entre 0 y 1. Para invertir su dirección, usa un número negativo.

Cuando multiplicamos por un número negativo, como $-5\vec{b} = \begin{bmatrix} -10 \ -50 \end{bmatrix}$, no solo alargamos el vector sino que también invertimos su dirección.