Introducción a Desigualdades

Las desigualdades son relaciones matemáticas que expresan cuándo un valor es mayor, menor o igual que otro. A diferencia de las ecuaciones que buscan valores específicos, las desigualdades buscan rangos o intervalos de valores.

Las desigualdades tienen propiedades importantes que debes recordar:

• Propiedad de tricotomía: Para dos números reales, solo una de estas relaciones es cierta: a = b, a > b o a < b
• Propiedad transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
• Propiedades con sumas: Si a < b y sumamos c a ambos lados, entonces a + c < b + c
• Propiedades con multiplicación: Si multiplicamos por un número positivo, la desigualdad mantiene su dirección; si multiplicamos por un número negativo, la desigualdad cambia de dirección

¡Atención! El error más común al resolver desigualdades es olvidar cambiar la dirección del símbolo cuando multiplicas o divides por un número negativo.

Cuando visualices desigualdades, recuerda que en la recta numérica, a < b significa que el punto a está a la izquierda del punto b.

Intervalos y su Notación

Los intervalos son conjuntos de números reales comprendidos entre dos valores. Conocer sus notaciones te ayudará a expresar soluciones de manera clara y precisa.

Los intervalos pueden ser:

• Cerrados: Incluyen sus extremos; se representan con corchetes $a, b$
• Abiertos: No incluyen sus extremos; se representan con paréntesis (a, b)
• Semiabiertos: Incluyen solo uno de sus extremos; se representan como $a, b) o (a, b$

Los intervalos también pueden extenderse al infinito:

• $a, +∞$ = {x ∈ ℝ | x > a}
• [a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
• $-∞, b$ = {x ∈ ℝ | x < b}
• (-∞, b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}

Ejemplo de resolución básica: Para resolver 2 + x < 9x + 6:

1. Agrupamos términos: x - 9x < 6 - 2
2. Simplificamos: -8x < 4
3. Dividimos por -8 (¡cambiando la dirección!): x > -1/2
4. La solución es el intervalo (-1/2, +∞)

Resolver desigualdades es como despejar ecuaciones, pero siempre recordando las reglas especiales para las desigualdades.

Resolución de Desigualdades

Al resolver desigualdades, tu objetivo es aislar la variable en un lado y encontrar el rango de valores que hacen verdadera la expresión.

Tipos de desigualdades comunes:

1. Desigualdades simples: Como 3x < -9, donde despejas directamente la variable.

2. Dobles desigualdades: Como 7 < 3x - 2 ≤ 13, donde trabajas con tres partes a la vez. Para resolver: 7 + 2 < 3x < 13 + 2 9 < 3x < 15 3 < x < 5 Solución: (3, 5]

3. Desigualdades con fracciones: Requieren atención especial al signo del denominador.

Ejemplo aplicado: Un estudiante necesita un promedio entre 80% y 89% en cinco exámenes para obtener B. Si en los primeros cuatro obtuvo 96%, 70%, 81% y 95%, ¿qué nota necesita en el quinto?

Planteamiento: 80 ≤ $96 + 70 + 81 + 95 + x$/5 < 90

Resolución: 400 ≤ 342 + x < 450 58 ≤ x < 108

Como las notas van de 0 a 100, necesita al menos 58% en el examen final.

Consejo práctico: En problemas de promedio, multiplica primero por el denominador para eliminar fracciones y hacer más sencilla la resolución.

Técnicas Avanzadas de Resolución

Las desigualdades complejas requieren técnicas especiales de resolución. Veamos algunos casos importantes:

Desigualdades con múltiples términos: Para resolver 2x + 1 ≤ 4x - 3 ≤ x + 6, debemos separar en dos desigualdades:

• 2x + 1 ≤ 4x - 3: Despejando, obtenemos x ≥ 2
• 4x - 3 ≤ x + 6: Despejando, obtenemos x ≤ 3 Intersectando ambas soluciones: x ∈ $2, 3$

Desigualdades con fracciones: Al resolver desigualdades con fracciones como $3/(x+2) ≤ 5$, ten cuidado con el signo del denominador. Debes analizar por separado los casos x > -2 y x < -2.

Aplicación en problemas de temperatura: La conversión entre Fahrenheit y Celsius: C = (5/9)$F - 32$ Si 40° ≤ C ≤ 50°, ¿qué intervalo corresponde en Fahrenheit?

• 40 ≤ (5/9)$F - 32$ ≤ 50
• 72 ≤ F - 32 ≤ 90
• 104 ≤ F ≤ 122

Cuando no hay solución: En ocasiones, al resolver sistemas como -x ≤ -2x + 4 ≤ x - 6, al separarlo en dos desigualdades y resolverlas, podrías encontrar que los intervalos resultantes no tienen intersección, lo que indica que la desigualdad original no tiene solución.

Desigualdades con Valor Absoluto

El valor absoluto |x| representa la distancia desde x hasta 0 en la recta numérica. Esta interpretación geométrica es clave para resolver problemas con valor absoluto.

Definición formal:

• Si x > 0, entonces |x| = x
• Si x = 0, entonces |x| = 0
• Si x < 0, entonces |x| = -x

Propiedades importantes:

1. |a| = √(a²)
2. |ab| = |a|·|b|
3. |a/b| = |a|/|b|
4. |aⁿ| = |a|ⁿ

Interpretación geométrica:

• |a| es la distancia entre a y 0
• |a - b| es la distancia entre a y b en la recta numérica

Ejemplos prácticos:

• |-5| = 5
• |3| = 3
• |√2 - 1| = √2 - 1 $porque √2 - 1 > 0$
• |π - 6| = -π + 6 $porque π - 6 < 0$

La relación entre valor absoluto y distancia: La expresión |x - 5| = 3 significa "los puntos que están a una distancia de 3 unidades de 5", que son x = 2 y x = 8.

Visualízalo así: El valor absoluto |x - a| < b representa todos los puntos que están a menos de b unidades de distancia del punto a.

Propiedades y Resolución con Valor Absoluto

Las desigualdades con valor absoluto se resuelven aplicando estas propiedades fundamentales:

Propiedades clave:

1. Si k > 0, entonces |x| < k equivale a -k < x < k
2. Si k > 0, entonces |x| > k equivale a x < -k o x > k
3. Si |x| = k, entonces x = k o x = -k
4. |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular)

Pasos para resolver |2x - 5| = 3:

1. Usar la propiedad 3: 2x - 5 = 3 o 2x - 5 = -3
2. Resolver cada ecuación: x = 4 o x = 1
3. La solución completa es x = 1 o x = 4

Pasos para resolver |3x + 2| ≥ 4:

1. Usar la propiedad 2: 3x + 2 ≥ 4 o 3x + 2 ≤ -4
2. Resolver: x ≥ 2/3 o x ≤ -2
3. La solución es (-∞, -2] ∪ [2/3, ∞)

Técnica para |x - 5| ≤ 2x + 2:

1. Considerar los casos por separado: -$2x + 2$ ≤ x - 5 ≤ 2x + 2
2. Resolver cada desigualdad
3. Intersectar las soluciones

Truco útil: Cuando el valor absoluto está dividido entre un número negativo, como en |x+3|/-2 < 1, no olvides que el signo negativo invierte la desigualdad cuando lo pasas multiplicando.

Desigualdades Cuadráticas

Las desigualdades cuadráticas son aquellas que contienen términos de segundo grado. Su resolución se basa en encontrar dónde el polinomio es positivo o negativo.

Método de resolución:

1. Pon todos los términos a un lado dejando 0 en el otro
2. Factoriza la expresión
3. Encuentra los puntos donde la expresión es cero
4. Determina el signo en cada intervalo usando valores de prueba

Ejemplo: x² - x < 6

1. Reescribimos como x² - x - 6 < 0
2. Factorizamos: $x - 3$$x + 2$ < 0
3. Los puntos de separación son x = 3 y x = -2
4. Probamos valores en cada intervalo:
   • x = -4: (-4 - 3)(-4 + 2) = (-7)(-2) = 14 > 0
   • x = 0: (0 - 3)(0 + 2) = (-3)(2) = -6 < 0
   • x = 5: (5 - 3)(5 + 2) = (2)(7) = 14 > 0
5. La solución es x ∈ (-2, 3)

Ejemplo con tres factores: $x + 5$$x - 1$$x - 2$ > 0 Los puntos de separación son x = -5, x = 1 y x = 2. Evaluando en cada intervalo, la solución es x ∈ (-5, 1) ∪ (2, ∞)

Aplicación práctica: La fuerza tensil S de un plástico varía con la temperatura T según la fórmula S = 500 + 600T - 20T². Para que S > 4,500, se debe cumplir que 10 < T < 20.

Desigualdades Lineales en Dos Variables

Las desigualdades lineales en dos variables $como ax + by < c$ representan semiplanos en el plano cartesiano.

Pasos para graficar:

1. Convierte la desigualdad a la forma y < mx + b o y > mx + b
2. Grafica la recta y = mx + b
3. Determina qué lado del plano representa la solución

Ejemplo: 2x + 4y < 8

1. Despejamos y: y < 2 - x/2
2. Graficamos la recta y = 2 - x/2
3. La solución es la región por debajo de la recta

Método alternativo:

1. Grafica la recta correspondiente a la igualdad
2. Elige un punto que no esté en la recta (como el origen)
3. Sustituye ese punto en la desigualdad para ver si pertenece a la solución
4. Si el punto cumple la desigualdad, toda su región la cumple

Ejemplo aplicado: Una empresa fabrica productos X e Y. Cada unidad de X requiere 2 horas en taladradora, y cada unidad de Y requiere 5 horas. Si se dispone de 40 horas semanales, las combinaciones posibles de producción satisfacen 2x + 5y ≤ 40.

Consejo visual: Al graficar desigualdades, usa línea continua para ≤ o ≥ (porque incluye la recta) y línea punteada para < o > (porque excluye la recta).

Sistemas de Desigualdades y Programación Lineal

Un sistema de desigualdades consiste en varias desigualdades que deben cumplirse simultáneamente. Su solución gráfica es la intersección de todas las regiones individuales.

Pasos para resolver sistemas gráficamente:

1. Grafica cada desigualdad por separado
2. Identifica la región de intersección (solución del sistema)

Ejemplo: Resolver el sistema { 2x - y + 4 < 0 x + y + 1 ≥ 0 }

1. Despejamos y en ambas: { y > 2x + 4 y ≥ -x - 1 }
2. Graficamos ambas rectas
3. La solución es la región de intersección

Programación lineal: Es una técnica para encontrar valores óptimos (máximos o mínimos) de una función lineal (función objetivo) sujeta a restricciones expresadas como desigualdades.

Elementos de un problema de programación lineal:

• Variables de decisión (lo que queremos determinar)
• Función objetivo (lo que queremos maximizar o minimizar)
• Restricciones (limitaciones expresadas como desigualdades)

Aplicación práctica: Una empresa requiere vitaminas para su alimento animal. Cada bolsa debe tener mínimo 40g de proteínas, 1.8g de grasas y 120g de carbohidratos. Los productos disponibles tienen diferentes cantidades de nutrientes y costos. ¿Qué mezcla minimiza el costo?

Solución de Problemas de Programación Lineal

La programación lineal te permite encontrar soluciones óptimas a problemas con múltiples restricciones, aplicando un método sistemático.

Pasos para resolver problemas de programación lineal:

1. Identifica las variables de decisión (generalmente x e y)
2. Formula la función objetivo (lo que quieres maximizar o minimizar)
3. Establece las restricciones como desigualdades
4. Grafica la región factible (intersección de todas las restricciones)
5. Identifica todos los vértices (puntos extremos) de esta región
6. Evalúa la función objetivo en cada vértice
7. Selecciona el punto que da el valor óptimo

Ejemplo práctico: Una empresa produce alimentos para animales con materias primas A $9/kg y B $7/kg. Las vitaminas contenidas en cada materia y las necesidades mínimas son:

Planteamiento:

• Variables: x (kg de A), y (kg de B)
• Función objetivo: C = 9x + 7y (minimizar)
• Restricciones:
  • 15x + 10y ≥ 60 (vitamina 1)
  • 20x + 5y ≥ 40 (vitamina 2)
  • 15x + 25y ≥ 75 (vitamina 3)
  • x, y ≥ 0

La solución óptima se encuentra en la intersección de las rectas correspondientes a vitamina 1 y vitamina 3, resultando en x = 3.3 kg de A y y = 1 kg de B, con un costo mínimo de $37.

Dato clave: Si la pendiente de la función objetivo es diferente a las pendientes de todas las restricciones, la solución óptima siempre se encuentra en un vértice de la región factible.