Desigualdades y sus propiedades

Las desigualdades expresan relaciones de orden entre números. Por ejemplo, cuando escribimos $a < b$ significa que "a es menor que b", lo que ocurre cuando $b - a$ es un número positivo.

Los símbolos de desigualdad incluyen $<$ (menor que), $>$ (mayor que), $\leq$ (menor o igual que) y $\geq$ (mayor o igual que). Cuando un número es mayor que cero ($a > 0$), decimos que es positivo; cuando es menor que cero ($a < 0$), es negativo.

Al trabajar con desigualdades, debes recordar estas propiedades importantes:

• Transitividad: Si $a < b$ y $b < c$, entonces $a < c$
• Uniformidad: Si $a < b$, entonces $a \pm c < b \pm c$
• Si multiplicamos por un número positivo, la desigualdad se conserva
• Si multiplicamos por un número negativo, la desigualdad cambia de dirección

💡 Consejo práctico: Cuando multipliques una desigualdad por un número negativo, recuerda siempre cambiar el sentido del símbolo (de < a >, o de > a <). Este error común puede evitarse si te acostumbras a verificar el signo antes de operar.

Intervalos y notación

Los intervalos son segmentos de la recta numérica que representan soluciones de desigualdades. Hay diferentes tipos según incluyamos o no los extremos:

• Intervalo abierto $(a,b)$: Incluye todos los números entre $a$ y $b$, sin incluir $a$ ni $b$. Se expresa como ${x / a < x < b}$.

• Intervalo cerrado $[a,b]$: Incluye todos los números entre $a$ y $b$, incluyendo $a$ y $b$. Se expresa como ${x / a \leq x \leq b}$.

También existen intervalos semiabiertos como $[a,b)$ (incluye $a$ pero no $b$) y $(a,b]$ (incluye $b$ pero no $a$).

Para representar intervalos infinitos usamos el símbolo $\infty$:

• $(a,\infty)$ representa todos los números mayores que $a$
• $[a,\infty)$ representa todos los números mayores o iguales que $a$
• $(-\infty,b)$ representa todos los números menores que $b$
• $(-\infty,b]$ representa todos los números menores o iguales que $b$

🔍 Atención: Cuando usas notación de intervalos, recuerda que los paréntesis () indican extremos abiertos (no incluidos), mientras que los corchetes $$ indican extremos cerrados (incluidos). Esta distinción es crucial para determinar correctamente el conjunto solución.

Resolviendo inecuaciones lineales

Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. Para resolverlas, debemos encontrar todos los valores que hacen verdadera la desigualdad.

Cuando trabajamos con inecuaciones lineales (forma $ax > b$ o similares), seguimos estos pasos:

1. Agrupar términos con variables a un lado
2. Agrupar términos constantes al otro lado
3. Despejar la variable (¡cuidado con multiplicar o dividir por números negativos!)

Veamos algunos ejemplos prácticos:

Ejemplo 1: $7x - 6 > 3x + 14$

• Agrupamos: $7x - 3x > 14 + 6$
• Simplificamos: $4x > 20$
• Despejamos: $x > 5$
• Solución: $(5, \infty)$

Ejemplo 2: $5x + 7 > 7x + 8$

• Agrupamos: $5x - 7x > 8 - 7$
• Simplificamos: $-2x > 1$
• Despejamos: $x < -\frac{1}{2}$
• Solución: $(-\infty, -\frac{1}{2})$

🚀 Consejo: Una estrategia útil para verificar tu solución es sustituir un valor dentro del intervalo resultado y comprobar si la desigualdad original se cumple. Esto te ayudará a confirmar si has aplicado correctamente las propiedades.

Inecuaciones no lineales

Para resolver inecuaciones no lineales (como las que contienen fracciones, productos o potencias), debemos seguir estos pasos:

1. Desigualar a 0 (pasar todo a un lado)
2. Factorizar completamente
3. Identificar los puntos críticos (donde la expresión vale 0)
4. Probar con valores de referencia para determinar el signo en cada intervalo
5. Seleccionar los intervalos donde se cumple la condición

Ejemplo de inecuación con doble desigualdad:

Para $\frac{5}{4} \leq \frac{3x+5}{12} \leq \frac{7}{3}$ debemos resolver cada parte:

• Primera parte: $\frac{5}{4} \leq \frac{3x-5}{12}$

  • Multiplicamos por 12: $15 \leq 3x-5$
  • Despejamos: $20 \leq 3x$, entonces $\frac{20}{3} \leq x$

• Segunda parte: $\frac{3x-5}{12} \leq \frac{7}{3}$

  • Multiplicamos por 12: $3x-5 \leq 28$
  • Despejamos: $3x \leq 33$, entonces $x \leq 11$

• La solución es la intersección: $[\frac{20}{3}, 11)$

Ejemplo con factorización:

Para $x³-6x \geq x²$ seguimos estos pasos:

• Desigualamos: $x³-x²-6x \geq 0$
• Factorizamos: $x(x²-x-6) \geq 0$
• Seguimos factorizando: $x(x-3)(x+2) \geq 0$

💡 Recuerda: En inecuaciones no lineales, identificar los puntos críticos y analizar el signo en cada intervalo es esencial. Siempre verifica si necesitas incluir o excluir los puntos críticos según sea ≥, ≤, > o <.

Resolución de inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales (con fracciones algebraicas) requieren atención especial a las restricciones del dominio y el análisis de signos.

Ejemplo complejo: Para resolver $\frac{x-2-\frac{x-3}{x+1}}{x+1} \leq 0$, primero simplificamos:

• Operando: $\frac{(x-2)(x+1)-(x-3)}{x+1} \leq 0$
• Desarrollando numerador: $\frac{x^2+x-2x-2-x+3}{x+1} \leq 0$
• Simplificando: $\frac{x^2-2x+1}{x+1} \leq 0$
• Factorizando numerador: $\frac{(x-1)^2}{x+1} \leq 0$

Analizando puntos críticos:

• Numerador: $x=1$ (doble)
• Denominador: $x=-1$ (restricción)

Para esta inecuación, como el numerador es un cuadrado (siempre positivo o cero), y queremos que la fracción sea menor o igual a cero, necesitamos que el denominador sea negativo, es decir, $x < -1$.

La solución es $x \in (-\infty,-1)$, considerando la restricción $x \neq -1$.

🔍 Importante: En inecuaciones racionales, siempre identifica las restricciones (valores donde los denominadores se anulan) y exclúyelos de la solución final. Estos puntos hacen que la expresión no esté definida.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real $a$, denotado como $|a|$, se define como:

• $|a| = a$ si $a \geq 0$
• $|a| = -a$ si $a < 0$

Por ejemplo: $|3| = 3$, $|0| = 0$, $|-2,6| = 2,6$

Propiedades importantes del valor absoluto:

• Siempre es no negativo: $|a| \geq 0$
• Es cero solo cuando $a = 0$
• Es simétrico: $|a| = |-a|$
• Con productos: $|ab| = |a||b|$
• Con cocientes: $\frac{|a|}{|b|} = |\frac{a}{b}|$
• Con igualdad: $|a| = |b|$ si y solo si $a = b$ o $a = -b$
• Con potencias: $|a|^2 = a^2$

Es importante recordar que $|a+b| \leq |a| + |b|$ (desigualdad triangular), pero generalmente $|a+b| \neq |a| + |b|$.

Para inecuaciones con fracciones donde el numerador es un cuadrado como $\frac{(x+1)^2}{x^2+4} > 0$, la solución generalmente incluye todo el dominio excepto restricciones, ya que un cuadrado siempre es positivo o cero.

💡 Truco mental: Piensa en el valor absoluto como la distancia desde un número hasta el cero en la recta numérica. ¡Esto te ayudará a visualizar por qué siempre es positivo o cero!

Ecuaciones con valor absoluto

Para ecuaciones con valor absoluto de la forma $|expresión| = a$ (donde $a > 0$), la solución comprende dos posibilidades:

• $expresión = a$
• $expresión = -a$

Ejemplo 1: $|4-3x| = 13$

• Caso 1: $4-3x = 13$ → $-3x = 9$ → $x = -3$
• Caso 2: $4-3x = -13$ → $-3x = -17$ → $x = \frac{17}{3}$
• Solución: ${-3, \frac{17}{3}}$

Ejemplo 2: $5-|2x+6| = -3$

• Despejamos: $|2x+6| = 8$
• Caso 1: $2x+6 = 8$ → $2x = 2$ → $x = 1$
• Caso 2: $2x+6 = -8$ → $2x = -14$ → $x = -7$
• Solución: ${-7, 1}$

Para ecuaciones más complejas como $|\frac{3x-5}{2x+1}| = y$, planteamos dos casos y resolvemos el sistema resultante:

• Caso 1: $\frac{3x-5}{2x+1} = y$
• Caso 2: $\frac{3x-5}{2x+1} = -y$

Al desarrollar las operaciones y resolver, obtenemos $x \in {-\frac{9}{5}, \frac{1}{11}}$

🚨 Atención: En ecuaciones con valor absoluto, siempre plantea dos casos (igual al valor positivo e igual al valor negativo). En el caso donde el valor absoluto se iguala a un número negativo, no hay solución ya que el valor absoluto nunca puede ser negativo.

Desigualdades con valor absoluto

Las desigualdades con valor absoluto tienen interpretaciones específicas:

• $|x| < a$ significa $-a < x < a$ (intervalo centrado en 0)
• $|x| \leq a$ significa $-a \leq x \leq a$ (intervalo cerrado)
• $|x| > a$ significa $x < -a$ o $x > a$ (fuera del intervalo)
• $|x| \geq a$ significa $x \leq -a$ o $x \geq a$ (exterior cerrado)

Ejemplo 1: $|\frac{x-1}{2}| \leq \frac{2}{3}$

• Aplicamos la definición: $-\frac{2}{3} \leq \frac{x-1}{2} \leq \frac{2}{3}$
• Multiplicamos por 2: $-\frac{4}{3} \leq x-1 \leq \frac{4}{3}$
• Sumamos 1: $-\frac{4}{3}+1 \leq x \leq \frac{4}{3}+1$
• Simplificamos: $-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{7}{3}$
• Solución: $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}]$

Estas interpretaciones nos permiten transformar desigualdades con valor absoluto en desigualdades ordinarias o uniones de intervalos.

💡 Visualización: Para $|x| < a$, piensa en todos los puntos que están a una distancia menor que $a$ del origen. Para $|x| > a$, son los puntos a una distancia mayor que $a$ del origen. Esta interpretación geométrica te ayudará a entender mejor estas desigualdades.

Desigualdades más complejas con valor absoluto

Para desigualdades como $\frac{3}{2}|x-2| \leq |x+\frac{3}{5}|$, aplicamos la propiedad: $|a| \leq |b|$ si y solo si $a^2 \leq b^2$

Procedimiento:

1. Elevamos al cuadrado ambos lados: $(\frac{3}{2}(x-2))^2 \leq (x+\frac{3}{5})^2$
2. Desarrollamos: $\frac{9}{4}(x-2)^2 \leq (x+\frac{3}{5})^2$
3. Restamos el lado derecho: $\frac{9}{4}(x-2)^2 - (x+\frac{3}{5})^2 \leq 0$
4. Factorizamos la expresión resultante
5. Estudiamos el signo del producto

Al resolver, obtenemos que los puntos críticos son $x = \frac{14}{45}$ y $x = \frac{26}{25}$

La solución de la desigualdad es $x \in [\frac{14}{45},\frac{26}{25}]$, que equivale aproximadamente a $x \in [0.3, 1.04]$

Esta técnica de elevar al cuadrado ambos lados es especialmente útil cuando tenemos desigualdades que comparan valores absolutos entre sí.

🔍 Observación clave: Cuando elevas al cuadrado una desigualdad, asegúrate de considerar si esto podría introducir soluciones falsas. Siempre verifica tus respuestas sustituyendo valores en la desigualdad original.