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Sweet Shake
16/12/2025
Matemáticas
Funciones
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16 de dic de 2025
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Sweet Shake
@sweetshake
¿Te has preguntado cómo las funciones se combinan y transforman... Mostrar más
Las funciones polinómicas son como recetas matemáticas donde mezclas diferentes potencias de x. Una función de grado n se ve así: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Los números a₀, a₁, a₂... son los coeficientes que le dan forma a tu función.
Las funciones potencia son más simples: f(x) = xᵃ, donde el exponente a puede ser cualquier número real. Cuando a = 1, tienes la función identidad f(x) = x. Cuando a = 2, obtienes la parábola f(x) = x².
Con exponentes negativos como a = -1, obtienes f(x) = 1/x, y su dominio cambia a todos los reales excepto cero. Las potencias fraccionarias como a = 1/2 te dan f(x) = √x, que solo acepta valores no negativos.
Tip clave: Las potencias pares crean gráficas simétricas respecto al eje y, mientras que las impares son simétricas respecto al origen.
Para graficar funciones cuadráticas complejas, la completación de cuadrados es tu mejor aliada. Tomas una expresión como f(x) = -x² + 4x - 2 y la transformas en f(x) = -² + 2, que es mucho más fácil de graficar.
Las funciones tienen personalidades simétricas muy específicas. Una función par cumple f = f(x), creando simetría respecto al eje y como un espejo. Una función impar satisface f = -f(x), siendo simétrica respecto al origen.
Para verificar la simetría, simplemente reemplaza todas las x por -x. Si obtienes la función original, es par. Si obtienes la función original con signo negativo, es impar. Si no pasa ninguna de las dos, no tiene simetría especial.
Recuerda: Las funciones pares se comportan igual en ambos lados del eje y, mientras que las impares "se voltean" de un lado al otro.
La composición de funciones es como seguir instrucciones en cadena. Cuando escribes (f∘g)(x) = f(g(x)), primero aplicas g a x, y después f al resultado. ¡Se lee de derecha a izquierda!
El dominio de una función compuesta requiere que x esté en el dominio de g, y que g(x) esté en el dominio de f. Es como verificar que cada paso del proceso sea válido.
Por ejemplo, si f(x) = √ y g(x) = 1/x, entonces (f∘g)(x) = √. Para encontrar el dominio, necesitas que 1/x ≥ 2, lo que te da x ∈ (0, 1/2].
Estrategia: Siempre encuentra primero el dominio de cada función por separado, luego verifica las condiciones adicionales que impone la composición.
Una función inyectiva nunca repite valores en el rango - cada entrada tiene una salida única. Matemáticamente: si x₁ ≠ x₂, entonces f(x₁) ≠ f(x₂). Es como tener un código secreto donde cada clave abre solo una puerta.
La prueba de la recta horizontal es tu herramienta gráfica favorita: si cualquier línea horizontal corta la gráfica máximo una vez, la función es inyectiva. Las parábolas fallan esta prueba, pero f(x) = x³ + 1 la pasa perfectamente.
Solo las funciones inyectivas tienen función inversa. Para encontrar f⁻¹(x), cambias f(x) por y, despejas x en términos de y, y luego intercambias las variables. La gráfica de la inversa es el reflejo de la original respecto a la recta y = x.
Dato importante: La composición de una función con su inversa siempre te devuelve x: (f∘f⁻¹)(x) = x.
Vamos a dominar el proceso con ejemplos concretos. Para f(x) = x³ + 1, primero verificas que es inyectiva (las funciones cúbicas siempre lo son), luego igualas y = x³ + 1 y despejas: x = ∛.
Al intercambiar variables obtienes f⁻¹(x) = ∛. Para verificar que está correcta, compones: f(f⁻¹(x)) = f = ³ + 1 = x-1+1 = x. ¡Perfecto!
Con funciones racionales como f(x) = /, el proceso es similar pero requiere más álgebra. Después de igualar y despejar, obtienes f⁻¹(x) = /.
Verificación esencial: Siempre comprueba tu respuesta calculando (f∘f⁻¹)(x) o (f⁻¹∘f)(x) - debe darte x como resultado.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Las funciones polinómicas son como recetas matemáticas donde mezclas diferentes potencias de x. Una función de grado n se ve así: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Los números a₀, a₁, a₂... son los coeficientes que le dan forma a tu función.
Las funciones potencia son más simples: f(x) = xᵃ, donde el exponente a puede ser cualquier número real. Cuando a = 1, tienes la función identidad f(x) = x. Cuando a = 2, obtienes la parábola f(x) = x².
Con exponentes negativos como a = -1, obtienes f(x) = 1/x, y su dominio cambia a todos los reales excepto cero. Las potencias fraccionarias como a = 1/2 te dan f(x) = √x, que solo acepta valores no negativos.
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Las funciones tienen personalidades simétricas muy específicas. Una función par cumple f = f(x), creando simetría respecto al eje y como un espejo. Una función impar satisface f = -f(x), siendo simétrica respecto al origen.
Para verificar la simetría, simplemente reemplaza todas las x por -x. Si obtienes la función original, es par. Si obtienes la función original con signo negativo, es impar. Si no pasa ninguna de las dos, no tiene simetría especial.
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El dominio de una función compuesta requiere que x esté en el dominio de g, y que g(x) esté en el dominio de f. Es como verificar que cada paso del proceso sea válido.
Por ejemplo, si f(x) = √ y g(x) = 1/x, entonces (f∘g)(x) = √. Para encontrar el dominio, necesitas que 1/x ≥ 2, lo que te da x ∈ (0, 1/2].
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Solo las funciones inyectivas tienen función inversa. Para encontrar f⁻¹(x), cambias f(x) por y, despejas x en términos de y, y luego intercambias las variables. La gráfica de la inversa es el reflejo de la original respecto a la recta y = x.
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Al intercambiar variables obtienes f⁻¹(x) = ∛. Para verificar que está correcta, compones: f(f⁻¹(x)) = f = ³ + 1 = x-1+1 = x. ¡Perfecto!
Con funciones racionales como f(x) = /, el proceso es similar pero requiere más álgebra. Después de igualar y despejar, obtienes f⁻¹(x) = /.
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