Estudio de Función: Bases Fundamentales

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Para nuestro ejemplo $\frac{x(x-3)^2}{(x-2)^2}$, el dominio es R-{2}, ya que el denominador no puede ser cero.

Para encontrar los interceptos con el eje X, igualamos la función a cero: $\frac{x(x-3)^2}{(x-2)^2} = 0$. Esto nos da $x(x-3)^2 = 0$, de donde obtenemos $x = 0$ y $x = 3$. Estos son los puntos donde la gráfica corta el eje X.

El intercepto con el eje Y lo hallamos calculando f(0). En nuestro caso, f(0) = 0, por lo que la gráfica pasa por el origen (0;0).

💡 Consejo práctico: Siempre comienza tu análisis de funciones con el dominio e interceptos. Son la base para entender el comportamiento de la función y te darán los primeros puntos clave de la gráfica.

Signos y Asíntotas

Para conocer los signos de la función, analizamos cuándo es positiva o negativa. Usando una tabla de signos, determinamos que f(x) es positiva en $(-\infty, 0) ∪ (3, +\infty)$ y negativa en $(0, 2) ∪ (2, 3)$.

Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador se hace cero. En nuestro ejemplo, $(x-2)^2 = 0$ nos da $x = 2$. Podemos confirmarlo calculando el límite cuando $x$ se acerca a 2.

Para hallar asíntotas horizontales o inclinadas, dividimos el numerador entre el denominador. Si obtenemos un número, tendremos una asíntota horizontal; si obtenemos una expresión con $x$, será una asíntota inclinada. En nuestro caso, al dividir $\frac{x(x-3)^2}{(x-2)^2}$, obtenemos $x-2$ como asíntota inclinada.

🔍 Recuerda: Las asíntotas nos muestran cómo se comporta la función cuando $x$ tiende a infinito o a valores donde la función no está definida. Son líneas a las que la función se acerca pero nunca toca (excepto en casos especiales).

Interceptos con Asíntotas y Puntos Críticos

El intercepto de la función con la asíntota ocurre cuando ambas se cruzan. Para hallarlo, igualamos la función original con su asíntota: $\frac{x(x-3)^2}{(x-2)^2} = x-2$. Resolviendo esta ecuación, encontramos que se cortan en $x = \frac{8}{3}$.

Los puntos críticos son aquellos donde la primera derivada es igual a cero. Calculamos $f'(x) = \frac{(x-3)(x^2-3x+6)}{(x-2)^3}$ e igualamos a cero. Obtenemos $x = 3$ como único punto crítico.

Para determinar si este punto es un máximo o mínimo, analizamos el signo de la primera derivada. Como $f'(x) > 0$ en $(-\infty, 2) ∪ (3, +\infty)$ y $f'(x) < 0$ en $(2, 3)$, la función crece antes de $x = 2$, decrece entre $x = 2$ y $x = 3$, y vuelve a crecer después de $x = 3$.

🧮 Atención: Calcular la derivada de funciones racionales puede ser complicado. Usa la regla del cociente con cuidado y simplifica siempre que sea posible para evitar errores.

Crecimiento y Análisis de la Derivada

El análisis del crecimiento de una función se realiza estudiando el signo de su primera derivada. Para nuestra función, ya identificamos que $f'(x) = \frac{(x-3)(x^2-3x+6)}{(x-2)^3}$.

Usando una tabla de signos para la derivada:

• Cuando $x < 2$: $f'(x) > 0$, la función crece
• Cuando $2 < x < 3$: $f'(x) < 0$, la función decrece
• Cuando $x > 3$: $f'(x) > 0$, la función vuelve a crecer

El punto $(3,0)$ es un punto crítico porque $f'(3) = 0$. Como la función pasa de decrecer a crecer en este punto, se trata de un mínimo local.

Este análisis nos permite entender el comportamiento global de la función: crece, luego decrece hasta el punto mínimo, y después vuelve a crecer indefinidamente.

🔄 Visualízalo: Piensa en el crecimiento como "subir y bajar" por la gráfica. Donde $f'(x) > 0$, la función sube (crece); donde $f'(x) < 0$, baja (decrece); y donde $f'(x) = 0$, está "plana" momentáneamente (punto crítico).

Concavidad y Puntos de Inflexión

Los puntos de inflexión son donde la función cambia su concavidad. Para encontrarlos, calculamos la segunda derivada e igualamos a cero: $f''(x) = \frac{-6x+24}{(x-2)^4} = 0$, lo que nos da $x = 4$.

La concavidad se determina por el signo de la segunda derivada:

• Si $f''(x) > 0$, la función es cóncava hacia arriba (como una U)
• Si $f''(x) < 0$, la función es cóncava hacia abajo (como una ∩)

Para nuestra función:

• Cuando $x < 4$: $f''(x) > 0$, cóncava hacia arriba
• Cuando $x > 4$: $f''(x) < 0$, cóncava hacia abajo

El punto $(4, f(4))$ es nuestro punto de inflexión, donde la función cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

🔄 Visualiza la concavidad: Imagina un cuenco (cóncavo hacia arriba) y un montículo (cóncavo hacia abajo). La concavidad te dice si la curva "retiene agua" o no en cada punto.

Criterio de la Segunda Derivada y Gráfica Final

El criterio de la segunda derivada nos ayuda a confirmar si los puntos críticos son máximos o mínimos:

• Si $f''(x) > 0$ en un punto crítico, es un mínimo
• Si $f''(x) < 0$ en un punto crítico, es un máximo

En nuestro caso, evaluamos $f''(3)$ y obtenemos un valor positivo, confirmando que $x = 3$ es un mínimo.

Con toda esta información, podemos graficar nuestra función $\frac{x(x-3)^2}{(x-2)^2}$ correctamente:

• Tiene interceptos en $(0,0)$ y $(3,0)$
• Presenta una asíntota vertical en $x = 2$
• Tiene una asíntota inclinada $y = x-2$
• Posee un punto mínimo en $(3,0)$
• Muestra un punto de inflexión en $x = 4$
• Cambia de concavidad después de $x = 4$

✏️ Consejo para graficar: Dibuja primero los elementos estructurales (asíntotas, interceptos), luego agrega los puntos críticos y de inflexión. Finalmente, completa la curva respetando el crecimiento y concavidad en cada intervalo.