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jmmzpau
15/11/2025
Matemáticas
Derivadas
46
•
15 de nov de 2025
•
jmmzpau
@paolaaaaaaaajm006
La derivada por definición es una herramienta fundamental del cálculo... Mostrar más
La fórmula para calcular la derivada por definición se expresa como el límite cuando h tiende a 0 de /h. Empecemos con un ejemplo concreto para la función F(x) = 5x³ - 2x² - x + 4.
Para aplicar la definición, primero sustituimos en nuestra función original. Al expandir F usando las fórmulas de potencias ³ y ², obtenemos todos los términos desarrollados.
Luego restamos F(x) y factorizamos h en el numerador para simplificar antes de aplicar el límite. En este caso, llegamos a una expresión de la forma /1.
💡 Recuerda: Al expandir ³, usamos la fórmula del cubo de un binomio: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Esto nos ahorra mucho trabajo en la expansión.
Una vez que tenemos nuestra expresión factorizada, podemos evaluar el límite sustituyendo h = 0. Esto elimina todos los términos que contienen h.
Para nuestro ejemplo, evaluamos el límite de /1 cuando h→0: f'(x) = 15x² + 15x(0) + 5(0)² - 4x - 2(0) - 1 f'(x) = 15x² - 4x - 1
Este resultado es la función derivada que nos permite calcular la pendiente de la función original en cualquier punto x.
La actividad propuesta nos pide hallar la derivada por definición de tres funciones diferentes. Vamos a resolverlas siguiendo el mismo procedimiento paso a paso.
🔍 Atención: Al resolver ejercicios de derivadas por definición, la clave está en ser ordenado y seguir cuidadosamente cada paso algebraico para evitar errores.
Para encontrar la derivada de f(x) = 2x³ - 3x² + 4 - 1 usando la definición, seguimos estos pasos:
Primero calculamos f sustituyendo en cada término de la función original. Usamos las fórmulas de expansión del cubo ³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ y del cuadrado ² = x² + 2xh + h².
Luego desarrollamos completamente: f = 2x³ + 6x²h + 6xh² + 2h³ - 3x² - 6xh - 3h² + 4 - 1
El siguiente paso es restar f(x) y organizar la expresión para encontrar el límite: f'(x) = lim /h
🔢 Truco útil: Organiza los términos en orden descendente según las potencias de x. Esto facilita identificar términos semejantes y evita confusiones al simplificar.
Al factorizar h en el numerador, obtenemos: lim h/h lim
Ahora podemos sustituir h = 0 y obtener: f'(x) = 6x² - 6x
¡Genial! Has encontrado la derivada de la primera función. Usemos el mismo proceso para la segunda función: f(x) = 2x² + x + 1.
Al desarrollar f, restar f(x), factorizar h y simplificar, llegamos a: f'(x) = lim /h f'(x) = lim
💪 Puedes hacerlo: A medida que practicas, notarás que estos pasos se vuelven más intuitivos. ¡Sigue el método sistemático y lograrás resolver cualquier derivada por definición!
Continuando con la segunda función, al sustituir h = 0 en la expresión , obtenemos la derivada: f'(x) = 4x + 1
Ahora vamos con la tercera función: g(x) = 3x² - 2x - 5
Siguiendo nuestro método, calculamos g: g = 3² - 2 - 5 g = 3 - 2x - 2h - 5 g = 3x² + 6xh + 3h² - 2x - 2h - 5
Al restar g(x) y factorizar h en el numerador, obtenemos: g'(x) = lim /h g'(x) = lim h/h
🌟 Observación importante: La derivada de un polinomio siempre será otro polinomio con grado menor en 1. Esto es un patrón que puedes verificar en todos estos ejemplos.
Simplificando la expresión de la tercera función y aplicando el límite cuando h→0: g'(x) = 6x - 2
¡Felicitaciones! Has completado las tres derivadas por definición:
Este método de derivación es fundamental, aunque en la práctica usaremos reglas más rápidas. Dominar la derivada por definición te da una comprensión profunda de lo que realmente significa la derivada: la pendiente instantánea de una función.
👏 ¡Lo lograste!: Ahora tienes las herramientas para derivar cualquier función polinómica usando la definición formal de derivada. Esta habilidad te será útil no solo en tus exámenes, sino para entender conceptos más avanzados del cálculo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Marco B
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La fórmula para calcular la derivada por definición se expresa como el límite cuando h tiende a 0 de /h. Empecemos con un ejemplo concreto para la función F(x) = 5x³ - 2x² - x + 4.
Para aplicar la definición, primero sustituimos en nuestra función original. Al expandir F usando las fórmulas de potencias ³ y ², obtenemos todos los términos desarrollados.
Luego restamos F(x) y factorizamos h en el numerador para simplificar antes de aplicar el límite. En este caso, llegamos a una expresión de la forma /1.
💡 Recuerda: Al expandir ³, usamos la fórmula del cubo de un binomio: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Esto nos ahorra mucho trabajo en la expansión.
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Una vez que tenemos nuestra expresión factorizada, podemos evaluar el límite sustituyendo h = 0. Esto elimina todos los términos que contienen h.
Para nuestro ejemplo, evaluamos el límite de /1 cuando h→0: f'(x) = 15x² + 15x(0) + 5(0)² - 4x - 2(0) - 1 f'(x) = 15x² - 4x - 1
Este resultado es la función derivada que nos permite calcular la pendiente de la función original en cualquier punto x.
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Luego desarrollamos completamente: f = 2x³ + 6x²h + 6xh² + 2h³ - 3x² - 6xh - 3h² + 4 - 1
El siguiente paso es restar f(x) y organizar la expresión para encontrar el límite: f'(x) = lim /h
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Al desarrollar f, restar f(x), factorizar h y simplificar, llegamos a: f'(x) = lim /h f'(x) = lim
💪 Puedes hacerlo: A medida que practicas, notarás que estos pasos se vuelven más intuitivos. ¡Sigue el método sistemático y lograrás resolver cualquier derivada por definición!
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Siguiendo nuestro método, calculamos g: g = 3² - 2 - 5 g = 3 - 2x - 2h - 5 g = 3x² + 6xh + 3h² - 2x - 2h - 5
Al restar g(x) y factorizar h en el numerador, obtenemos: g'(x) = lim /h g'(x) = lim h/h
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Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Elena
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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