¿Qué es una función?

Imaginate que tienes una máquina especial: le das un número y siempre te devuelve exactamente un resultado. Eso es básicamente una función: una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio) un único elemento del conjunto B (llamado codominio).

La notación f(x) significa "la función f aplicada a x". Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces f(3) = 6. El dominio son todos los valores que puedes usar como entrada, y el codominio son todos los posibles resultados.

Prueba de la recta vertical: Si dibujas una línea vertical en cualquier parte de la gráfica y toca más de un punto, entonces NO es una función. Esta es la forma más rápida de identificar si una gráfica representa una función.

Tip clave: Una relación es función solo si cada valor de x tiene exactamente un valor de y asociado.

Cómo encontrar el dominio de funciones

El dominio son todos los valores de x que hacen que la función tenga sentido matemáticamente. Aquí tienes las reglas principales que necesitas dominar:

Para raíces cuadradas: Lo que está adentro debe ser mayor o igual a cero. Por ejemplo, en f(x) = √$x + 7$, necesitas x + 7 ≥ 0, entonces x ≥ -7.

Para fracciones: El denominador nunca puede ser cero. En f(x) = 1/$x - 6$, debes excluir x = 6 porque haría la fracción indefinida.

Para funciones combinadas: Debes cumplir todas las condiciones al mismo tiempo. Si tienes raíz Y fracción, ambas restricciones deben aplicarse.

Recuerda: Los polinomios simples $como x² + 3x - 5$ siempre tienen dominio de todos los números reales.

Encontrando el codominio (rango)

El codominio o rango son todos los valores de y que la función puede producir. Para encontrarlo, despejas x en términos de y y ves qué restricciones surgen.

Ejemplo práctico: Para f(x) = x² + 1, sustituyes y = x² + 1, luego despejas: x² = y - 1. Como x² siempre es positivo, necesitas y - 1 ≥ 0, o sea y ≥ 1. El codominio es [1, ∞).

Para funciones racionales: Como f(x) = 5/x, el codominio excluye el cero porque nunca puedes obtener y = 0 dividiendo 5 entre cualquier número real.

Para raíces: f(x) = √$x - 2$ solo produce valores no negativos, así que su codominio es [0, ∞).

Estrategia ganadora: Siempre despeja x en función de y y observa qué valores de y son imposibles de alcanzar.

Operaciones con funciones

¿Sabías que puedes sumar, restar, multiplicar y dividir funciones como si fueran números? Estas operaciones crean nuevas funciones súper útiles.

Operaciones básicas:

• $f + g$(x) = f(x) + g(x) - sumas los resultados
• $f - g$(x) = f(x) - g(x) - restas los resultados
• (f · g)(x) = f(x) · g(x) - multiplicas los resultados
• $f/g$(x) = f(x)/g(x) - divides los resultados (¡cuidado con g(x) ≠ 0!)

Ejemplo práctico: Si f(x) = x² + 11x + 30 y g(x) = x² - 25, entonces $f + g$(x) = 2x² + 11x + 5. Solo sumas término a término.

Para la división de funciones, primero factoriza y luego simplifica. Muchas veces los factores se cancelan y obtienes expresiones más sencillas.

Consejo: Siempre factoriza antes de operar; te ahorrará muchos cálculos complicados.

Más operaciones y evaluaciones

Cuando trabajas con operaciones entre funciones, a veces necesitas evaluar en puntos específicos. Esto es súper común en exámenes y es más fácil de lo que parece.

Para evaluar operaciones: Primero calcula cada función por separado, luego aplica la operación. Por ejemplo, para $g - h$(-4), calculas g(-4) y h(-4) por separado, después restas.

Simplificación de fracciones: Cuando divides funciones como $h/f$(x), factoriza numerador y denominador completamente. Los factores comunes se cancelan, dejándote con una expresión más simple.

Restricciones importantes: Recuerda que cuando simplificas una fracción, los valores que hacían cero el denominador original siguen siendo restricciones del dominio.

Truco de examen: Siempre verifica tus restricciones del dominio antes de simplificar fracciones de funciones.

Composición de funciones

La composición de funciones es como una máquina dentro de otra máquina. (f ∘ g)(x) = f$g(x)$ significa que primero aplicas g, y luego aplicas f al resultado.

Proceso paso a paso: Para calcular (f ∘ g)(x), tomas la función f y reemplazas cada x por g(x). Si f(x) = x² - 1 y g(x) = 3x + 5, entonces f$g(x)$ = $3x + 5$² - 1.

¡Ojo con el orden!: (f ∘ g)(x) es diferente de (g ∘ f)(x). El orden importa muchísimo. La primera función que escribes es la que se aplica al final.

Ejemplo práctico: Si g(x) = x - 2 y f(x) = 5x + √x, entonces (g ∘ f)(x) = 5$x - 2$ + √$x - 2$ = 5x - 10 + √$x - 2$.

Regla de oro: En (f ∘ g)(x), g se aplica primero, f se aplica segundo. Piénsalo como "de adentro hacia afuera".

Gráficas de funciones lineales

Las funciones lineales f(x) = mx + b son las más fáciles de graficar y entender. Su gráfica siempre es una línea recta, y solo necesitas dos puntos para dibujarla.

La pendiente m te dice cómo se inclina la recta: si m > 0 la función es creciente, si m < 0 es decreciente, y si m = 0 es una línea horizontal. El intercepto b es donde la línea cruza el eje y.

Método rápido para graficar: Encuentra el punto (0, b) y otro punto como $1, m + b$. Une estos dos puntos y extiende la línea en ambas direcciones.

Ejemplo: Para f(x) = 3x + 2, el intercepto es (0, 2) y la pendiente es 3. Otro punto sería (1, 5). Como m = 3 > 0, la función es creciente.

Dato útil: Si la función es f(x) = c (una constante), la gráfica es una línea horizontal que pasa por y = c.

Gráficas de funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx + c crean parábolas, esas curvas en forma de U (o U invertida). Son súper importantes en física y economía.

Dirección de la parábola: Si a > 0, abre hacia arriba (tiene un mínimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene un máximo). El coeficiente a también controla qué tan "ancha" o "angosta" es la parábola.

Elementos clave para graficar:

• Interceptos con x: Haz y = 0 y resuelve la ecuación
• Intercepto con y: Haz x = 0, obtienes y = c
• Vértice: Usa la fórmula x = -b/(2a), luego calcula f$-b/(2a)$

El vértice es el punto más importante porque es donde la parábola cambia de dirección. Es el punto máximo o mínimo de la función.

Tip de examen: El vértice siempre está en la línea de simetría de la parábola, que es x = -b/(2a).

Funciones polinomiales y sus gráficas

Las funciones polinomiales son como las cuadráticas pero con potencias más altas. La forma general es f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, donde n es el grado del polinomio.

Característica clave: Una función polinomial de grado n puede tener hasta n interceptos con el eje x. Estos son los ceros o raíces de la función, donde f(x) = 0.

Para graficar polinomios: Encuentra los interceptos con ambos ejes, luego construye una tabla de valores para puntos adicionales. Los interceptos te dan la estructura básica de la gráfica.

Ejemplo práctico: Para f(x) = x³ + 7x² + 10x, factorizas: f(x) = x$x + 5$$x + 2$. Los ceros son x = 0, x = -5, y x = -2. El intercepto con y es (0, 0).

Estrategia ganadora: Siempre factoriza completamente para encontrar todos los ceros; te dará una idea clara de la forma de la gráfica.

Ejemplo completo de función cúbica

Vamos a graficar f(x) = x³ + x² - 10x + 8 paso a paso. Este tipo de ejercicios aparecen constantemente en evaluaciones.

Paso 1 - Interceptos con x: Igualas a cero y factorizas. Usando división sintética con x = 1: 0 = $x - 1$$x² + 2x - 8$ = $x - 1$$x + 4$$x - 2$. Los ceros son x = 1, x = -4, x = 2.

Paso 2 - Intercepto con y: Sustituyes x = 0: y = 0³ + 0² - 10(0) + 8 = 8. El punto es (0, 8).

Paso 3 - Puntos adicionales: Evalúas en otros valores como x = 3: f(3) = 27 + 9 - 30 + 8 = 14. Esto te da el punto (3, 14).

Con estos puntos puedes hacer un bosquejo bastante preciso de la función cúbica, mostrando dónde cruza los ejes y su comportamiento general.

Recordatorio final: Las funciones son herramientas poderosas que aparecen en química, física, economía y muchas otras materias que estudiarás.