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jhon castro
22/11/2025
Matemáticas
Calculo diferencial
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22 de nov de 2025
•
jhon castro
@jhoncastr_4ay5b
El cálculo diferencial comienza con funciones, un concepto fundamental para... Mostrar más
Para entender funciones, debemos partir de ideas básicas. El plano cartesiano es un sistema formado por dos rectas perpendiculares (horizontal y vertical) que dividen el espacio en cuatro cuadrantes. Este sistema nos permite ubicar puntos de manera precisa.
Las parejas ordenadas son representaciones numéricas con dos valores en orden específico (x,y), donde x es la abscisa (posición horizontal) y y es la ordenada (posición vertical). Estas parejas son la base para representar relaciones entre valores.
El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B (escrito como A×B) representa todas las posibles combinaciones de parejas ordenadas que pueden formarse tomando un elemento de A como primera componente y un elemento de B como segunda. Por ejemplo, si A={1,2,3} y B={2,4}, el producto cartesiano A×B incluiría todas las posibles parejas que pueden formarse.
💡 Recuerda: El orden importa en el producto cartesiano. A×B es diferente de B×A, ya que cambia qué conjunto aporta la primera componente y cuál la segunda.
El producto cartesiano A×B para A={1,2,3} y B={2,4} sería: {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4)}. Como puedes ver, cada elemento de A se relaciona con cada elemento de B. Si invertimos el orden (B×A), obtendríamos parejas diferentes: {(2,1), (2,2), (2,3), (4,1), (4,2), (4,3)}.
Una relación matemática entre dos conjuntos A y B es simplemente un subconjunto del producto cartesiano A×B. En otras palabras, seleccionamos algunas (o todas) las parejas que vinculan elementos de A con elementos de B según alguna regla.
Veamos un ejemplo práctico: si A={1,2,3,5} y B={2,3,4,6}, y queremos definir una relación R₁ donde y=2x, primero calculamos todas las posibles parejas (A×B) y luego seleccionamos solo aquellas que cumplen la condición y=2x. En este caso: R₁={(1,2), (2,4), (3,6)}.
De manera similar, si buscamos parejas donde y=x+1, obtendríamos R₂={(1,2), (2,3), (3,4), (5,6)}. Las relaciones nos permiten expresar matemáticamente vínculos específicos entre elementos de diferentes conjuntos.
⚠️ Atención: Al definir relaciones, es crucial identificar correctamente el conjunto de partida y el de llegada (A×B o B×A), ya que esto determina qué parejas ordenadas debemos considerar.
Las relaciones que vimos antes son herramientas útiles, pero las funciones son un tipo especial de relaciones con una característica crucial: cada elemento del conjunto de partida debe relacionarse con exactamente un elemento del conjunto de llegada. No puede quedar ningún elemento sin pareja ni tener más de una.
Una función f de X en Y es una regla que asigna a cada valor de x en el conjunto X un único valor y en el conjunto Y. Escribimos y=f(x) para indicar que y es la imagen de x bajo la función f.
El dominio de una función es el conjunto X de valores de entrada (variable independiente), mientras que el conjunto de todas las imágenes forma el rango de la función (dentro del conjunto Y). Puedes pensar en una función como una máquina que procesa valores de entrada para producir exactamente una salida por cada entrada.
Las funciones son fundamentales en matemáticas porque modelan relaciones predecibles entre cantidades. Por ejemplo, la función f(x)=2x relaciona cada número con su doble, mientras que g(x)=x+3 relaciona cada número con el resultado de sumarle 3.
🔍 Recuerda: La clave para identificar si una relación es función está en verificar que cada elemento del dominio tenga exactamente una imagen. ¡Ni más ni menos!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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jhon castro
@jhoncastr_4ay5b
El cálculo diferencial comienza con funciones, un concepto fundamental para entender relaciones matemáticas. Esta guía te ayudará a comprender qué son las funciones, cómo se relacionan con los conjuntos y por qué son tan importantes para el análisis matemático avanzado.
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Para entender funciones, debemos partir de ideas básicas. El plano cartesiano es un sistema formado por dos rectas perpendiculares (horizontal y vertical) que dividen el espacio en cuatro cuadrantes. Este sistema nos permite ubicar puntos de manera precisa.
Las parejas ordenadas son representaciones numéricas con dos valores en orden específico (x,y), donde x es la abscisa (posición horizontal) y y es la ordenada (posición vertical). Estas parejas son la base para representar relaciones entre valores.
El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B (escrito como A×B) representa todas las posibles combinaciones de parejas ordenadas que pueden formarse tomando un elemento de A como primera componente y un elemento de B como segunda. Por ejemplo, si A={1,2,3} y B={2,4}, el producto cartesiano A×B incluiría todas las posibles parejas que pueden formarse.
💡 Recuerda: El orden importa en el producto cartesiano. A×B es diferente de B×A, ya que cambia qué conjunto aporta la primera componente y cuál la segunda.
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El producto cartesiano A×B para A={1,2,3} y B={2,4} sería: {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4)}. Como puedes ver, cada elemento de A se relaciona con cada elemento de B. Si invertimos el orden (B×A), obtendríamos parejas diferentes: {(2,1), (2,2), (2,3), (4,1), (4,2), (4,3)}.
Una relación matemática entre dos conjuntos A y B es simplemente un subconjunto del producto cartesiano A×B. En otras palabras, seleccionamos algunas (o todas) las parejas que vinculan elementos de A con elementos de B según alguna regla.
Veamos un ejemplo práctico: si A={1,2,3,5} y B={2,3,4,6}, y queremos definir una relación R₁ donde y=2x, primero calculamos todas las posibles parejas (A×B) y luego seleccionamos solo aquellas que cumplen la condición y=2x. En este caso: R₁={(1,2), (2,4), (3,6)}.
De manera similar, si buscamos parejas donde y=x+1, obtendríamos R₂={(1,2), (2,3), (3,4), (5,6)}. Las relaciones nos permiten expresar matemáticamente vínculos específicos entre elementos de diferentes conjuntos.
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Una función f de X en Y es una regla que asigna a cada valor de x en el conjunto X un único valor y en el conjunto Y. Escribimos y=f(x) para indicar que y es la imagen de x bajo la función f.
El dominio de una función es el conjunto X de valores de entrada (variable independiente), mientras que el conjunto de todas las imágenes forma el rango de la función (dentro del conjunto Y). Puedes pensar en una función como una máquina que procesa valores de entrada para producir exactamente una salida por cada entrada.
Las funciones son fundamentales en matemáticas porque modelan relaciones predecibles entre cantidades. Por ejemplo, la función f(x)=2x relaciona cada número con su doble, mientras que g(x)=x+3 relaciona cada número con el resultado de sumarle 3.
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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