Funciones Matemáticas Fundamentales

Las funciones lineales $y=mx+b$ son la base de muchos problemas matemáticos. La pendiente (m) se calcula con la fórmula $y₂-y₁$/$x₂-x₁$ y nos indica la inclinación de la recta. Cuando m=0, la línea es horizontal.

Las funciones cuadráticas $ax²+bx+c$ forman parábolas con un vértice en el punto -b/2a. Para encontrar los puntos donde la función corta el eje x (raíces), usa la fórmula cuadrática: $-b±√b²-4ac$/2a.

En las funciones exponenciales $f(x)=aˣ$, cuando a>1, la función crece positivamente; mientras que si 0<a<1, decrece. Las funciones logarítmicas $f(x)=logₐx$ son inversas a las exponenciales, con la propiedad logₐb=c → a^c=b.

💡 ¡Recuerda! Las funciones trigonométricas como f(x)=A·sen$bx+c$+d tienen varios componentes: A es la amplitud, b afecta el periodo, c causa el desplazamiento horizontal y d el desplazamiento vertical.

Regla de Tres y Proporcionalidad

La regla de tres es una herramienta súper útil para resolver problemas cotidianos. Se divide en dos tipos según la relación entre las variables: directa e inversa.

En la proporcionalidad directa, las variables aumentan o disminuyen juntas. Su fórmula es: $X₁/X₂$ = $Y₁/Y₂$. Por ejemplo, si 3 paletas cuestan 45 pesos, ¿cuánto costarán 7 paletas? Aplicamos: 3/7 = 45/X, entonces X = (7·45)/3 = 105 pesos.

En la proporcionalidad inversa, cuando una variable aumenta, la otra disminuye. La fórmula es: (X₁·Y₁) = (X₂·Y₂). Por ejemplo, si 4 pintores tardan 6 días en terminar un trabajo, ¿cuánto tardarán 2 pintores? Aplicamos: 4·6 = 2·X, entonces X = (4·6)/2 = 12 días.

⚠️ ¡Atención! Para saber qué tipo de proporcionalidad usar, pregúntate: ¿si una cantidad aumenta, la otra también aumenta (directa) o disminuye (inversa)?

Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos son como una familia donde cada miembro contiene al anterior. Este sistema nos ayuda a clasificar los diferentes tipos de números según sus características.

El conjunto más básico son los números naturales (N), que incluyen solo números positivos sin decimales (1,2,3...). Los enteros (Z) amplían este concepto incluyendo el cero y los negativos. Los racionales (Q) incorporan todas las fracciones y decimales periódicos.

Los números irracionales (I) son aquellos decimales infinitos no periódicos como π o e. Cuando combinamos racionales e irracionales, obtenemos los números reales (R). Finalmente, los números complejos (C) incluyen los anteriores más los números imaginarios $aquellos con √-1$.

🔍 Dato curioso: La letra que representa cada conjunto tiene origen histórico: N (naturales), Z (del alemán "zahlen" que significa números), Q (de "quotient" o cociente), R (reales) y C (complejos).

Primera Guerra Mundial (1914-1918)

La "Gran Guerra" enfrentó a dos alianzas principales: la Triple Entente (Francia, Rusia y Reino Unido) contra las Potencias Centrales $Alemania, Imperio Austro-Húngaro, Imperio Otomano y Bulgaria$. Este conflicto dejó aproximadamente 15 millones de víctimas entre militares y civiles.

El detonante fue el asesinato del archiduque Francisco Fernando en Sarajevo por un joven revolucionario serbio. Sin embargo, el trasfondo incluía una carrera colonial entre potencias europeas, nacionalismo exacerbado y una competencia armamentista conocida como "La paz armada" (1871-1914).

Tras el asesinato, el Imperio Austro-Húngaro declaró la guerra a Serbia con apoyo alemán. Rápidamente, el conflicto se expandió cuando Reino Unido declaró guerra a Alemania por invadir Bélgica en su intento de llegar a Francia. Italia, originalmente parte de la Triple Alianza, cambió de bando uniéndose a los Aliados.

🗓️ Dato histórico: Entre 1914-1918, se introdujeron terribles innovaciones bélicas como la guerra química, los bombardeos aéreos y los submarinos, cambiando para siempre la forma de hacer la guerra.

Desarrollo y Fin de la Primera Guerra Mundial

La guerra se caracterizó por la guerra de trincheras con condiciones inhumanas que provocaban "pie de trinchera" y fatiga de combate. Durante este periodo ocurrieron atrocidades como el Genocidio Armenio (1.5 millones de víctimas) y el uso de armas químicas.

Las batallas clave incluyeron Tannenberg $Rusia-Alemania$, Marne (para conquistar París), Galípoli, Jutlandia (naval con 250 barcos), Verdún y la del río Somme (con 2 millones de víctimas). En 1917, la Revolución Rusa causó la salida de este país de la guerra mediante el Tratado de Brest-Litovsk.

En 1918, la Triple Entente logró la rendición de Alemania. El Tratado de Versalles (28 junio 1919) impuso duras condiciones: reparaciones económicas, cesión de colonias, desarme militar y asumir la responsabilidad del conflicto. Las consecuencias incluyeron epidemias (la gripe española mató a 50 millones), rencor en Alemania, fin de grandes imperios y devastación económica.

💣 Reflexiona: El Tratado de Versalles, con sus severas condiciones para Alemania, sembró el resentimiento que eventualmente contribuiría al surgimiento del nazismo y la Segunda Guerra Mundial.

Segunda Guerra Mundial: Causas y Protagonistas

La Segunda Guerra Mundial enfrentó a los Aliados (Reino Unido, Francia, EEUU, URSS y otros) contra las Potencias del Eje (Alemania, Italia y Japón). El conflicto surgió principalmente por el rencor alemán tras el Tratado de Versalles y las políticas expansionistas de Hitler.

El detonante fue la invasión de Polonia por Alemania tras haber invadido completamente Checoslovaquia. Antes, Hitler había anexado Austria en su plan de expansión territorial y amenazaba con tomar los Sudetes (parte de Checoslovaquia).

Adolf Hitler, un pintor frustrado que combatió en la Primera Guerra Mundial, se unió al Partido Obrero Alemán (luego Partido Nacional Socialista). Después de un fallido golpe de estado que lo llevó a la cárcel, donde escribió "Mi lucha", ganó las elecciones en 1932 convirtiéndose en canciller. Estableció un régimen totalitario (el Tercer Reich) persiguiendo a judíos, comunistas y opositores.

🔍 Contexto histórico: La disolución del Imperio Austro-Húngaro tras la Primera Guerra Mundial dio origen a varios países como Austria, Hungría, Checoslovaquia y Yugoslavia, redibujando el mapa de Europa.

Inicio de la Segunda Guerra Mundial

La política de apaciguamiento de Chamberlain (Reino Unido) y Daladier (Francia) fracasó al permitir a Hitler quedarse con parte de Checoslovaquia. Churchill, quien reemplazó a Chamberlain, había advertido sobre este peligro.

El Pacto Ribbentrop-Molotov (1939) entre Alemania y la URSS acordaba no atacarse mutuamente. Apenas días después, Alemania invadió Polonia occidental mientras la URSS tomaba la parte oriental. Reino Unido y Francia declararon la guerra a Alemania, iniciando la llamada "Guerra de Broma" (1939-1940) donde hubo poca actividad militar.

En mayo de 1940, Alemania lanzó su famoso Blitzkrieg (guerra relámpago) invadiendo Dinamarca, Noruega, Luxemburgo, Países Bajos y Bélgica para llegar a Francia. Esta técnica combinaba bombardeos a distancia y ataques móviles con tanques y soldados. Sorprendentemente, los alemanes pasaron por el Bosque de las Ardenas, considerado impenetrable, rodeando a las tropas aliadas en Dunkerque donde muchos fueron evacuados (Operación Dínamo).

🌩️ Estrategia militar: El Blitzkrieg revolucionó la guerra moderna al combinar rapidez, potencia de fuego y efecto psicológico, logrando victorias rápidas donde los enemigos apenas tenían tiempo para reaccionar.

Expansión del Conflicto

Tras conquistar Francia, Alemania planeó invadir Reino Unido con la Batalla de Inglaterra, un enfrentamiento aéreo donde la resistencia británica, con ayuda económica de EEUU, frustró los planes nazis. Hitler entonces buscó expandirse hacia el este.

Italia, bajo Mussolini, se unió a Alemania formando el Eje Roma-Berlín-Tokio con la posterior adhesión de Japón (1939). Italia intentó conquistar Grecia y Egipto sin éxito, necesitando ayuda alemana. Yugoslavia fue invadida en 1941, consiguiendo aliados en Hungría, Rumania y Bulgaria.

La Operación Barbarroja (1941) marcó la invasión alemana a la URSS, motivada por el petróleo ruso y el odio al comunismo. Alemania conquistó rápidamente Bielorrusia, parte occidental de Rusia y las repúblicas bálticas, avanzando hacia Leningrado, Moscú y Kiev.

Mientras tanto, Japón había invadido China (1931), sufriendo bloqueos comerciales de EEUU. El ataque a Pearl Harbor (1941) marcó la entrada de EEUU en la guerra, mientras Japón expandía su control sobre Hong Kong, Singapur, Birmania, Tailandia, Indias Orientales holandesas y Filipinas.

😨 Holocausto: Durante este periodo Hitler implementó "La Solución Final", un exterminio sistemático que mató a más de 11 millones de personas, principalmente judíos, en uno de los genocidios más terribles de la historia.

Giro y Final de la Guerra

El año 1942 marcó un punto de inflexión con la Batalla de Midway, donde Japón perdió cuatro portaaviones cruciales, y la Batalla de Stalingrado, que detuvo el avance alemán hacia el Cáucaso y su petróleo. La posterior Batalla de Kursk, el mayor enfrentamiento de tanques, consolidó la contraofensiva soviética.

En Italia, tras la captura de Mussolini y su posterior liberación por Hitler, se estableció un mini-gobierno en el norte. Los Aliados avanzaron liberando el país en 1944, incluyendo el polémico bombardeo de un monasterio donde se resguardaban tropas alemanas.

El Día D (6 de junio de 1944) marcó el desembarco aliado en Normandía, engañando a los alemanes que esperaban el ataque en Calais. Esto abrió un nuevo frente occidental mientras el Ejército Rojo avanzaba desde el este. Presionado desde todos los frentes, Hitler se suicidó en su búnker en Berlín.

Japón continuó luchando con ataques suicidas (Kamikazes) hasta que EEUU lanzó bombas atómicas sobre Hiroshima y Nagasaki ("Little Boy" y "Fat Man"), forzando su rendición y poniendo fin a la guerra con un saldo aproximado de 80 millones de víctimas.

🕊️ Reflexión histórica: La decisión de usar bombas atómicas sigue siendo uno de los debates éticos más controvertidos de la historia, cuestionando si era necesario tal nivel de destrucción para terminar la guerra.

Guerra Fría: Orígenes y Bandos

La Guerra Fría (1949-1991) fue un conflicto indirecto entre las superpotencias que emergieron tras la Segunda Guerra Mundial. Se denominó "fría" porque nunca hubo enfrentamientos directos, sino conflictos derivados o "guerras subsidiarias".

Las causas principales fueron los conflictos ideológicos (capitalismo vs. comunismo), diferencias políticas y económicas, y campañas propagandísticas. EEUU propagó desestabilizaciones y golpes de Estado en Latinoamérica, mientras la URSS respaldaba revoluciones y gobiernos socialistas.

Se formaron dos bloques: el Bloque Occidental Capitalista liderado por EEUU (incluyendo países como Reino Unido, Francia, Italia, entre otros) y el Bloque Oriental Comunista liderado por la URSS (incluyendo Bulgaria, Rumania, Polonia, etc.).

Los antecedentes se remontan a 1917 con el triunfo de la Revolución Rusa, que generó tensiones con EEUU quien apoyó al bando derrotado. Aunque fueron aliados contra Alemania en 1945, las divisiones surgieron en las Conferencias de Yalta y Potsdam, culminando con la división de Alemania y Berlín entre zonas capitalistas y comunistas.

🗺️ Metáfora histórica: Churchill describió la división europea como un "Telón de Acero" que se extendía desde el Océano Ártico hasta la costa búlgara del Mar Negro, separando ideológicamente el continente.