Áreas y Perímetros de Figuras Planas

Las figuras planas tienen dos medidas fundamentales: el perímetro (la suma de todos sus lados) y el área (la superficie que ocupan). Cada figura tiene fórmulas específicas para calcularlas.

Para un triángulo, el perímetro es la suma de sus tres lados, y su área se calcula como base por altura dividido entre 2. El paralelogramo tiene un perímetro de 2$a+b$ y un área de base por altura.

Los rectángulos y cuadrados son casos especiales de paralelogramos. El cuadrado tiene cuatro lados iguales, lo que simplifica sus fórmulas. El rombo y la cometa tienen fórmulas de área basadas en sus diagonales.

💡 ¡Recuerda! La fórmula para calcular el área del trapecio es la semisuma de sus bases multiplicada por la altura: A = $(B+b)/2$ × h

Áreas y Volúmenes de Cuerpos Geométricos

Los cuerpos tridimensionales tienen tanto área superficial (la suma de todas sus caras) como volumen (el espacio que ocupan). El cubo tiene un área de 6a² y un volumen de a³, donde a es la longitud de su lado.

El paralelepípedo (prisma rectangular) tiene un área superficial de 2$ab+ac+bc$ y un volumen de a×b×c. Para cuerpos redondos como el cilindro, el área es 2πr$h+r$ y el volumen es πr²h.

El círculo es una figura plana con propiedades especiales. Sus elementos principales son el radio (segmento desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia), el diámetro (segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro) y la cuerda (línea que une dos puntos cualquiera de la circunferencia).

💡 Para la esfera, recuerda que su área superficial es 4πr² y su volumen es (4/3)πr³, donde r es el radio.

Área y Perímetro del Círculo y Figuras Tridimensionales

El círculo tiene fórmulas simples pero poderosas: su área es π×r² y su perímetro (o circunferencia) es 2π×r. Por ejemplo, para un círculo con radio de 3 cm, el área es 28,26 cm² y el perímetro es 18,8 cm.

Para calcular el área superficial de un cubo, multiplicamos el área de una cara (a²) por el número de caras (6), obteniendo la fórmula As = 6a². En el caso del prisma rectangular, el área superficial se calcula como As = 2$bl + ln + hb$, donde b, l y h son las dimensiones del prisma.

Los polígonos irregulares se pueden dividir en figuras más simples para calcular su área total. Por ejemplo, podemos dividir un polígono en rectángulos y triángulos, calcular el área de cada uno y sumarlas.

💡 Para calcular áreas de figuras complejas, divídelas en formas más simples que ya conoces. ¡Divide y vencerás!

Áreas Sombreadas y Teorema de Tales

Las áreas sombreadas representan la diferencia entre dos figuras. Para calcularlas, resta el área de la figura interior del área de la figura exterior. Por ejemplo, si tienes un cuadrado con un círculo inscrito, el área sombreada sería: Acuadrado - Acírculo.

En el ejemplo de la página, tenemos un cuadrado de 6 cm de lado $área = 36 cm²$ con un círculo inscrito de radio 3 cm $área = 28,27 cm²$. El área sombreada es la diferencia: 7,73 cm².

El Teorema de Tales es una herramienta fundamental para encontrar longitudes desconocidas en figuras proporcionales. Establece que si dos rectas son cortadas por rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

💡 El Teorema de Tales te permite resolver problemas de proporcionalidad de manera sencilla. Recuerda la fórmula: a/b = c/d, donde a y c son segmentos correspondientes.

Teoría de Ángulos

Los ángulos son elementos fundamentales en geometría y trigonometría. Cada ángulo tiene un vértice (punto donde se unen los lados) y dos lados (semirrectas que forman el ángulo).

Existen relaciones importantes entre ángulos. Los ángulos complementarios suman 90° $como 59° + 31°$, mientras que los ángulos suplementarios suman 180° $como 65° + 115°$. Estos conceptos son esenciales para resolver problemas geométricos.

Según su posición, los ángulos pueden ser consecutivos (comparten un lado y el vértice) o adyacentes (son consecutivos y forman un ángulo llano de 180°). Los triángulos también se clasifican según sus lados, siendo equiláteros cuando tienen tres lados iguales.

💡 Reconocer el tipo de relación entre ángulos (complementarios, suplementarios, consecutivos o adyacentes) te ayudará a resolver problemas más rápidamente.

Tipos de Triángulos y Suma de Ángulos

Los triángulos se clasifican tanto por sus lados como por sus ángulos. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales, mientras que un triángulo escaleno no tiene lados iguales. Por sus ángulos, pueden ser agudos (tres ángulos menores de 90°), rectángulos (un ángulo de 90°) o obtusos (un ángulo mayor de 90°).

Una propiedad fundamental es que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo siempre es 180°. Esto se expresa como a + b + c = 180°, donde a, b y c son los tres ángulos internos del triángulo.

La suma de los ángulos externos de un triángulo siempre es 360°, lo que se expresa como A + B + C = 360°. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos complejos.

💡 Si conoces dos ángulos de un triángulo, siempre puedes calcular el tercero restando su suma de 180°.

Radianes y Razones Trigonométricas

Un radián es una unidad de medida de ángulos alternativa a los grados. Se define como el ángulo que, situado en el centro de una circunferencia, abarca un arco de longitud igual al radio. Para convertir de radianes a grados, usamos la relación: π radianes = 180°.

Las razones trigonométricas nos permiten relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos. Las tres principales son:

• Seno (sen α) = cateto opuesto / hipotenusa
• Coseno (cos α) = cateto adyacente / hipotenusa
• Tangente (tan α) = cateto opuesto / cateto adyacente

Estas razones son herramientas poderosas para resolver problemas de triángulos rectángulos cuando conocemos un ángulo y un lado, o dos lados.

💡 Un truco útil: para recordar las razones trigonométricas puedes usar la frase "SOH-CAH-TOA": Seno = Opuesto/Hipotenusa, Coseno = Adyacente/Hipotenusa, Tangente = Opuesto/Adyacente.

Ángulos Notables

Los ángulos notables son aquellos cuyas razones trigonométricas pueden calcularse exactamente sin calculadora. Los más importantes son 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

Para el seno, los valores van aumentando desde 0 en 0° hasta 1 en 90°, siguiendo el patrón: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Para el coseno, ocurre lo contrario: va disminuyendo desde 1 en 0° hasta 0 en 90°, con los valores: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0.

La tangente tiene un comportamiento diferente, comenzando en 0 para 0°, y aumentando hasta infinito cuando se acerca a 90°. Sus valores son: 0, √3/3, 1, √3, ∞.

💡 Memorizar estos valores te ahorrará tiempo en exámenes. Fíjate que sen(θ) = cos(90°-θ), lo que significa que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario.