Análisis de costos de construcción

¿Alguna vez te has preguntado cómo verificar si los datos en una gráfica son correctos? Analicemos un caso práctico de construcción.

En el problema 26, tenemos una tabla que muestra materiales para construir un muro (ladrillos, varillas, arena y cemento) y una gráfica de costos acumulados. La inconsistencia está en el costo total que muestra la gráfica ($200) versus lo que realmente suman los costos individuales de los materiales.

Si sumamos todos los costos: 50 + 50 + 25 + 50 = $175, pero la gráfica muestra$200. La respuesta correcta sería la D, pues el costo total debería ser $175, no$200.

💡 Siempre verifica que la información gráfica coincida con los datos numéricos. Este tipo de análisis es fundamental para detectar errores en reportes financieros.

En el problema 27, Jaime distribuye su sueldo así: 30% para la cuota de su casa y el resto dividido igualmente entre su auto y gastos generales. Para determinar estos porcentajes, no necesita saber el valor de su sueldo, solo debe calcular el porcentaje restante (70%) y dividirlo entre 2, obteniendo 35% para cada uno.

En el problema 28, ambos hermanos (Juan y Carlos) proponen fórmulas para calcular el pago por sus hectáreas. Analiza si las fórmulas son equivalentes: Juan divide 20 millones entre 50 hectáreas y multiplica por sus hectáreas, mientras Carlos usa una regla de tres simple. ¡Ambos métodos son correctamente equivalentes!

Interpretación de gráficas y proporciones

Las gráficas son una herramienta poderosa para comunicar datos, pero debemos saber interpretarlas correctamente. Veamos algunos ejemplos prácticos.

En el problema 29, un empleado intenta convertir un gráfico de barras que muestra unidades vendidas en un diagrama circular, pero comete un error. La gráfica propuesta no es correcta porque un diagrama circular debe mostrar la proporción que representa cada producto sobre el total (usando porcentajes o fracciones), no las unidades vendidas directamente.

Cuando trabajamos con descuentos (problema 30), hay varias formas de calcular el valor ahorrado. Si un artículo cuesta $125.000 con 25$125.000 × 0,25 o $125.000 × 1/4 para obtener el ahorro. El procedimiento incorrecto sería multiplicar$125.000 × 0,75, pues esto calcula lo que se paga, no lo que se ahorra.

🧮 Recuerda: Para calcular descuentos puedes usar fracciones o decimales equivalentes. El 25% es igual a 1/4 o 0,25.

En el problema 31, Daniel aprobó un examen al contestar correctamente 3 de 5 preguntas. Para determinar de cuántas formas pudo obtener esta calificación, necesitamos calcular las combinaciones posibles: ¿de cuántas maneras puedo elegir 3 elementos de un conjunto de 5? La respuesta es 10 combinaciones diferentes.

El problema 32 nos muestra rectángulos con base fija y altura variable, pidiéndonos identificar la fórmula para calcular la diagonal. Al analizar los datos proporcionados, vemos que la diagonal sigue el patrón del teorema de Pitágoras: D = √$1 + x²$, donde 1 es la base y x es la altura.

Análisis estadístico y clasificación de datos

¿Sabes cómo agrupar datos para obtener información útil? Veamos casos prácticos de clasificación y análisis estadístico.

En los problemas 33 y 34, analizamos la distribución por estrato socioeconómico de 50 empleados de una fábrica. La empresa clasifica los estratos en tres grupos: Bajo (1-2), Medio (3-4) y Alto (5-6). Si queremos bonificar a dos estratos que correspondan al 34% de los empleados, debemos buscar qué combinación de estratos suma exactamente 17 empleados (34% de 50). La respuesta correcta es la opción A, pues los estratos 1 y 2 suman 7 + 10 = 17 empleados.

Al ordenar los estratos socioeconómicos según la cantidad de empleados (de menor a mayor), primero agrupamos por la clasificación de la empresa:

• Alto (5-6): 5 empleados
• Bajo (1-2): 17 empleados
• Medio (3-4): 28 empleados

📊 Cuando trabajes con datos agrupados, siempre verifica que los totales coincidan con la población original. Es fácil cometer errores al combinar categorías.

En el problema del rectángulo con la diagonal (32), podemos ver cómo la diagonal D varía respecto a la altura x. La tabla muestra que cuando x aumenta, D también aumenta. Si observamos los valores de D², encontramos que D² = 1 + x², por lo que D = √$1 + x²$. Esta es una aplicación directa del teorema de Pitágoras: en un rectángulo, la diagonal al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los lados.

Estadística y probabilidad aplicada

La estadística nos permite tomar decisiones basadas en datos. Analicemos ejemplos que muestran cómo interpretar tablas y calcular porcentajes.

En los problemas 33 y 34, trabajamos con la distribución por estrato socioeconómico de 50 empleados, clasificados en estratos del 1 al 6. La empresa los agrupa como Bajo (1-2), Medio (3-4) y Alto (5-6).

Para encontrar qué dos estratos representan el 34% de los empleados, calculamos cuántos empleados son el 34% de 50: 0,34 × 50 = 17 empleados. Revisando la tabla, vemos que los estratos 1 y 2 suman exactamente 17 empleados (7 + 10).

Cuando ordenamos los estratos de menor a mayor según la cantidad de empleados, obtenemos:

1. Alto (5+0): 5 empleados
2. Bajo (7+10): 17 empleados
3. Medio (20+8): 28 empleados

💡 En estadística, siempre busca patrones en los datos. Agrupar categorías puede revelar tendencias que no son evidentes en los datos sin procesar.

En el problema 35, un estudio sobre accidentalidad de autos por color muestra que el plata es el más seguro (10% de accidentalidad), mientras que el negro tiene la mayor tasa (70%). Si analizamos las ventas por color (plata 35%, blanco 25%, negro 20%, rojo 10%), debemos entender que la accidentalidad total depende tanto del porcentaje de accidentalidad como del volumen de ventas.

Para el problema 36, si el seguro se calcula proporcionalmente a la tasa de accidentalidad, el seguro más alto correspondería a los autos negros, pues tienen la mayor tasa de accidentalidad (70%).

Interpretación de gráficos circulares y porcentajes

Los gráficos circulares son excelentes para mostrar proporciones, pero requieren una interpretación cuidadosa para extraer la información correcta.

El problema 37 presenta un gráfico circular que proyecta, para el año 2050, cuántas personas habrán tenido alguna enfermedad antes de los 70 años. Para calcular el porcentaje, debemos identificar qué fracción del círculo representa "con alguna enfermedad". Analizando el gráfico, vemos que corresponde aproximadamente al 86% de la población.

En el problema 38 sobre preferencias deportivas, debemos seleccionar el gráfico que representa correctamente los datos de la tabla. Es importante notar que hay:

• 10 hombres y 5 mujeres que prefieren patinar (15 en total)
• 3 hombres y 14 mujeres que prefieren trotar (17 en total)

📊 Cuando interpretes gráficos circulares, recuerda que cada sector representa una proporción del total. El círculo completo siempre equivale al 100%.

El problema 39 aborda un juego de cartas donde Mario tiene cuatro cartas y debe seleccionar la mejor estrategia. Tiene dos posibles tríos para armar (con 2 o con 4). Su hermano sugiere calcular la probabilidad de obtener cada carta faltante y deshacerse de la menos probable.

La opinión de Mario de que ambas probabilidades son iguales es incorrecta. Para completar un trío, necesita otra carta del mismo número. Como ya tiene dos cartas con el número 4 y solo una con el número 2, hay más cartas disponibles con el número 2 que con el número 4 en el mazo, por lo que las probabilidades no son iguales.

Representación gráfica y análisis de datos

Saber representar datos visualmente es una habilidad esencial. Veamos cómo interpretar correctamente diferentes tipos de gráficos.

En el problema 38 analizamos datos sobre preferencias deportivas entre estudiantes. La tabla muestra que 15 estudiantes prefieren patinar (10 hombres y 5 mujeres) mientras que 17 prefieren trotar (3 hombres y 14 mujeres). El gráfico correcto debe mostrar estas cantidades totales por actividad, independientemente del género.

Para el problema 39 sobre el juego de cartas, Mario debe analizar probabilidades para decidir de qué carta deshacerse. Tiene dos cartas con el número 4 y una carta con el número 2. Como en la baraja francesa hay cuatro cartas de cada número (una por cada pinta), le quedan dos cartas con 4 y tres cartas con 2 en el mazo. Por tanto, la probabilidad de obtener un 2 (3/48) es mayor que la de obtener un 4 (2/48).

🎮 En juegos de probabilidad, siempre cuenta cuántos eventos favorables hay versus el total de eventos posibles. Esta relación determina tus chances de éxito.

El problema 40 nos pide expresar en porcentajes los datos de una gráfica que muestra las ciudades de origen de 20 estudiantes: Bogotá (12), Barranquilla (4), Medellín (3) y Cali (1). Para calcular los porcentajes dividimos cada cantidad entre el total y multiplicamos por 100:

• Bogotá: (12/20) × 100 = 60%
• Barranquilla: (4/20) × 100 = 20%
• Medellín: (3/20) × 100 = 15%
• Cali: (1/20) × 100 = 5%

La opción correcta es la B, que muestra estos porcentajes.

Análisis de patrones y secuencias numéricas

Identificar patrones en secuencias numéricas te permite hacer predicciones y resolver problemas complejos. Veamos algunos ejemplos prácticos.

Los problemas 41 y 42 nos presentan un evento comunitario de fin de semana con distintas actividades. Para calcular cuándo se completarán 40 horas de actividades, debemos sumar las horas por fin de semana:

• Sábado: 1 + 1 + 1 + 2 = 5 horas
• Domingo: 1 + 1 + 1 = 3 horas
• Total por fin de semana: 8 horas

Así, necesitaríamos 5 fines de semana para alcanzar 40 horas (5 × 8 = 40).

En el problema 42, analizamos la asistencia durante 5 fines de semana: 8, 16, 28, 64 y 128 personas. Se esperaba que cada fin de semana duplicara la asistencia del anterior. Verificando:

• 2° fin de semana: 8 × 2 = 16 ✓
• 3° fin de semana: 16 × 2 = 32, pero hubo 28. Faltan 4 personas.
• 4° fin de semana: 32 × 2 = 64 ✓
• 5° fin de semana: 64 × 2 = 128 ✓

📈 Cuando analices patrones numéricos, busca relaciones entre números consecutivos. Dividir o restar términos consecutivos puede revelar la regla que los gobierna.

El problema 43 presenta un sistema de ventas por redes con comisiones por niveles. Si sumamos las comisiones de todos los niveles (5% + 4% + 3% + 2% + 1% = 15%), vemos que la afirmación de que equivalen al 10% es incorrecta. Las comisiones dependen del nivel de cada vendedor y suman 15%, no 10%.

Relaciones entre variables y análisis de funciones

Entender cómo se relacionan diferentes variables es fundamental en matemáticas. Exploremos algunos ejemplos donde analizamos estas relaciones.

En el problema 44, analizamos la relación entre casos de dengue y precipitación (lluvia). La gráfica muestra que a medida que aumenta la precipitación, también aumentan los casos de dengue. Sin embargo, el coeficiente de correlación indicado es -0,85 (negativo), lo que sugeriría que al aumentar la precipitación, disminuyen los casos. Esto es claramente inconsistente con la tendencia ascendente que muestra la gráfica.

La función p(t) = 3t² + 1 del problema 45 estima la cantidad de puntos que obtiene un equipo de baloncesto en t minutos. Para calcular los puntos en tiempos específicos:

• En 9 minutos: p(9) = 3(9)² + 1 = 3(81) + 1 = 243 + 1 = 244 puntos
• En 12 minutos: p(12) = 3(12)² + 1 = 3(144) + 1 = 432 + 1 = 433 puntos
• En 17 minutos: p(17) = 3(17)² + 1 = 3(289) + 1 = 867 + 1 = 868 puntos

⚠️ Espera, estos valores son extremadamente altos para un partido de baloncesto. Probablemente la función correcta es p(t) = 3t + 1 (lineal, no cuadrática), lo que daría valores más razonables.

El problema 46 presenta un diagrama de árbol con acciones secuenciales de un brazo mecánico. Para realizar la acción V, primero debe ejecutar las acciones X e Y, según muestra el diagrama, no todas las acciones anteriores.

Cálculo financiero y porcentajes

Los problemas financieros requieren un manejo preciso de los cálculos. Veamos algunos ejemplos prácticos de aplicación.

En el problema 47, Rosendo solicitó un préstamo de $200.000 para cancelarlo en 5 pagos mensuales. Cada mes abona$40.000 a la deuda y paga un interés del 10% sobre el saldo a la fecha. Para calcular la cuota del tercer mes:

1. El saldo después del segundo pago es $120.000
2. El interés del tercer mes es 10% de $120.000 =$12.000
3. El aporte al capital es $40.000
4. La cuota total del tercer mes es $12.000 +$40.000 = $52.000

💰 En préstamos con abonos constantes al capital, el interés disminuye cada mes porque se calcula sobre un saldo cada vez menor. Esto hace que la cuota total también disminuya.

Los problemas 48 a 50 analizan los productos fabricados en una empresa de calzado, con datos sobre costos, precios y unidades vendidas. Para calcular la participación de las zapatillas en la utilidad total:

1. Diferencia entre precio y costo: $30.000 -$25.000 = $5.000
2. Multiplicar por unidades vendidas: $5.000 × 800 =$4.000.000
3. Dividir entre la utilidad total: $4.000.000 ÷$17.000.000 = 0,235...
4. Expresar como porcentaje: 0,235... × 100 = 23,5%

Por lo tanto, la participación de las zapatillas está entre 20% y 40% (opción B).

Utilidad, ventas y costos en contextos empresariales

Comprender los conceptos de utilidad, ventas y costos es fundamental para analizar el rendimiento de una empresa. Veamos aplicaciones prácticas.

Para calcular el valor total de ventas de un producto (problema 49), debemos multiplicar el precio de venta por el número de unidades vendidas. Esta operación nos indica cuánto dinero generó cada producto en términos brutos, sin considerar los costos.

En el problema 50, el gerente quiere saber en qué producto se invirtió más dinero. Aunque ordena los productos según su costo unitario de fabricación, este paso no es necesario para determinar la mayor inversión. Lo realmente importante es multiplicar el costo unitario por el número de unidades vendidas y comparar estos resultados. El orden inicial de los productos según su costo unitario no afecta el resultado final.

💼 En análisis empresarial, distingue siempre entre inversión (costos totales) e ingresos (ventas totales). La diferencia entre ambos determina la rentabilidad.

Calculando la inversión en cada producto:

• Botas: $30.000 × 500 =$15.000.000
• Zapatillas: $25.000 × 800 =$20.000.000
• Zapatos deportivos: $35.000 × 2.000 =$70.000.000
• Zapatos formales: $50.000 × 1.200 =$60.000.000

El producto con mayor inversión son los zapatos deportivos, con $70.000.000, aunque su costo unitario ($35.000) no es el más alto. Esto demuestra que el volumen de unidades es tan importante como el costo unitario al analizar la inversión total.