Conversión de Ángulos y Proporciones Básicas

¿Sabías que muchos telescopios funcionan con radianes en lugar de grados? Para convertir de grados a radianes, recordá que 180° = π radianes. Entonces 30° = π/6 radianes (opción A).

Las proporciones directas son tu mejor aliado para resolver problemas de la vida real. Si 25 niños en 4 días consumen 100 meriendas, entonces 50 niños en 7 días necesitarán: (50 × 7 × 100) ÷ (25 × 4) = 350 meriendas.

En estadística descriptiva, podés calcular el promedio de compras mensuales sumando todas las compras (21) y dividiendo entre el número de personas (10). El resultado es 2.1 compras por persona al mes.

Consejo clave: En proporciones, siempre verificá si las variables aumentan o disminuyen juntas (directa) o en sentido contrario (inversa).

Dominios de Funciones y Análisis de Datos

Cuando trabajás con divisiones algebraicas, recordá que nunca podés dividir entre cero. En el procedimiento 1/x × x, el valor x debe ser diferente de 0 para que la operación sea válida (opción C).

El análisis de gráficas requiere comparar datos punto por punto. Mirá cuidadosamente cada valor: Antioquia 2012 (tabla: 21.7, gráfica: diferente), Antioquia 2013 (tabla: 22.4, gráfica: diferente), y Bogotá 2015 (tabla: 4.7, gráfica: diferente).

Para organizar datos, necesitás ordenar los valores de menor a mayor: 4.000, 4.500, 5.000, 5.700, 7.000 estudiantes. Buscá la gráfica que respete este orden ascendente.

Dato importante: Siempre verificá que los datos de las gráficas coincidan exactamente con los de las tablas antes de sacar conclusiones.

Geometría Espacial y Probabilidades

Para calcular cuántas cajas cúbicas caben en una bodega, solo necesitás el volumen. El área superficial es irrelevante aquí. Volumen bodega = 10 × 10 × 12 = 1200 m³; volumen caja = 2³ = 8 m³. Resultado: 150 cajas.

En probabilidades, identificá valores menores que 0.1: X₂ (0.02), X₅ (0.05) y X₇ (0.05). Solo estos tres valores cumplen la condición.

El perímetro de un rectángulo se calcula: P = 2$largo + ancho$ = 2(90 + 60) = 300 m. Si alguien da 15 vueltas: 15 × 300 = 4.500 metros totales.

Los comedores comunitarios muestran crecimiento: de 1.500 almuerzos en enero a 2.650 en junio. La gráfica es correcta porque incluye todos los valores de la tabla en la escala apropiada.

Truco útil: En geometría, siempre identificá qué tipo de medida te piden (área, volumen, perímetro) antes de elegir la fórmula.

Promedios y Optimización de Recursos

El promedio aritmético se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre la cantidad total. Para las edades 15, 14, 17, 15, 15, 16: suma = 92, entre 6 estudiantes = 15.3 años promedio.

En problemas de optimización de carga, verificá que no excedas las capacidades máximas. Avión 1 (12 ton): 7 + 5 = 12 ✓. Avión 2 (10 ton): 8 + 2 = 10 ✓. Esta es la única combinación que funciona.

Las funciones compuestas requieren evaluar paso a paso. Primer trimestre: g(10) = 10 + 1 = 11 millones. Segundo trimestre: f(11) = 2(11) = 22 millones recibidos.

Para secuencias aritméticas, si la diferencia entre hermanos consecutivos es 3 años, podés calcular cualquier término. El paso 2 es redundante porque ya sabés que todas las diferencias son iguales.

Estrategia ganadora: En funciones compuestas, el resultado de la primera función se convierte en la entrada de la segunda función.

Estadística Aplicada y Análisis de Variaciones

Para calcular el gasto promedio por tipo de grano, Andrea necesita saber cuántos paquetes compró de cada tipo y el precio por paquete. Los datos de ventas de la tienda no le sirven.

Si el promedio de cinco edades es 30 años, la suma total es 150. Con Juan (35), Alejandra (37) y Sebastián (28), faltan 50 años para Alberto y Camila juntos. Como tienen la misma edad: 50 ÷ 2 = 25 años cada uno.

La variación porcentual se calcula: (375 ÷ 150) - 1 = 1.5, multiplicado por 100 = 150%. Este valor está entre 100 y 200.

En probabilidad condicional, si ya sabés que es mujer, tenés 0.2 + 0.4 = 0.6 total de mujeres. De estas, 0.4 son mayores de 18. Entonces: 0.4 ÷ 0.6 = 0.67 ≈ 2/3.

Concepto clave: El rango es la diferencia entre el valor máximo y mínimo. En la gráfica: 12 - 2 = 10 puntos de rango.

Combinatoria y Análisis de Costos

En combinatoria, para ganar necesitás al menos 2 bolas azules de 3 extraídas. Los casos favorables son: (2 azules, 1 negra) + (3 azules, 0 negras). El denominador es el total de formas de escoger 3 bolas de 9.

Para identificar polígonos por número de lados, contá cuidadosamente. El grupo X tiene los tres polígonos con más lados, y entre estos, buscá el que tenga menos lados.

En el análisis de costos por módulo, calculá el valor por hora para cada uno. Aunque el módulo IV tiene el mayor costo por hora ($45.000), su baja intensidad horaria (10h) lo hace el más barato: $450.000 total.

Tip importante: En problemas de costos, siempre diferenciá entre costo por unidad y costo total. Pueden llevar a conclusiones opuestas.

Análisis Experimental y Cálculo de Ganancias

En el experimento con fertilizantes, verificá cada afirmación con los datos. A los 15 días: W=49cm, X=64cm, Y=63cm. El menor es W (afirmación 1 verdadera). A los 90 días: X=286cm es el mayor (afirmación 2 falsa).

Para calcular ganancias o pérdidas, considerá todos los costos. Ingresos = 100.000x. Gastos variables = $2k + 20.000$x. Gastos fijos = 12.000.000 mensuales. Si Ingresos - Gastos totales < 0, hay pérdidas.

El costo total de frutas se calcula agrupando productos con el mismo precio. Mandarinas: 20 × $2.500. Freijoa + Fresa: (15 + 17) ×$5.000, porque ambas cuestan igual por kg.

Estrategia eficiente: Cuando varios productos tienen el mismo precio unitario, podés sumar las cantidades primero y luego multiplicar.

Interpretación de Gráficas y Funciones Cuadráticas

Los porcentajes en encuestas deben interpretarse correctamente. El 98% prefiere jugar, y los otros porcentajes (83%, 12%, 3%, 2%) muestran la frecuencia dentro de ese 98%, no se suman a 98%.

En gráficas de funciones, Mónica quema calorías de forma lineal creciente (línea recta ascendente). Julio también aumenta constantemente pero de forma no lineal.

Para funciones cuadrática, y = x² + 30.000. Si el costo fue 40.000: 40.000 = x² + 30.000, entonces x² = 10.000, por lo tanto x = 100 unidades.

El volumen de un cilindro se calcula con V = πr²h. Con radio 3 cm y altura 8 cm: π × 3² × 8 = 72π ≈ 226.19 cm³.

Observación clave: En funciones lineales vs cuadráticas, las primeras tienen crecimiento constante y las segundas crecimiento acelerado.

Probabilidad Complementaria y Proporciones Electorales

La probabilidad complementaria es fundamental. Si P(bajo) = 0.27, entonces P(medio o alto) = 1 - 0.27 = 0.73, porque todos los eventos posibles suman 1.

En análisis de gráficas comparativas, observá que P(x) = Q(x) + 20, lo que significa que el documental P siempre tiene 20 puntos más de audiencia que Q. Por tanto, P(x) es mayor todos los días.

Para cálculos electorales con fracciones, multiplicá cada fracción por el total de votos correspondiente, luego sumá los resultados. Primera vuelta: (fracción₁ × 13.209.560) + Segunda vuelta: (fracción₂ × 15.794.940).

Regla de oro: En probabilidad, si conocés P(A), podés encontrar P(no A) restando: P(no A) = 1 - P(A).

Geometría de Cilindros y Proporciones en el Deporte

Para calcular cuánta agua necesita un cilindro, solo necesitás el radio interno (ya dado: 1m) y la altura del cilindro. El grosor y las medidas externas no afectan el volumen interno.

En proporciones deportivas, si el futbolista anota 4 de cada 5 tiros, y anotó 12 goles, usá la proporción: 12 goles × (5 tiros ÷ 4 goles) = 15 tiros al arco.

Las gráficas de movimiento deben reflejar cada etapa del vuelo: altura constante creciente (30s), descenso constante (5s), altura constante (20s), descenso final constante (25s). Buscá la gráfica con estos cuatro segmentos.

Concepto final: En problemas de volumen de cilindros, solo importan las dimensiones internas si querés saber cuánto líquido cabe adentro.