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Juliana
8/12/2025
Otros
Limites
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8 de dic de 2025
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Juliana
@julianappp
Las funciones a trozos y los límites son conceptos matemáticos... Mostrar más
Una función a trozos es aquella que tiene diferentes reglas según el intervalo del dominio en el que se encuentre el valor de entrada. Es como tener varias mini-funciones en una sola.
La forma general de una función a trozos se representa así:
f(x) = {
Expr₁ si Subconjunto₁
Expr₂ si Subconjunto₂
...
Exprₙ si Subconjuntoₙ
}
Puedes representar funciones a trozos de tres maneras:
💡 Consejo práctico: Cuando trabajes con funciones a trozos, identifica primero los puntos donde cambia la regla. Estos puntos son clave para entender el comportamiento de la función y para calcular límites correctamente.
El límite es el valor al que se acerca una función cuando la variable independiente se aproxima a un cierto punto. Lo escribimos como , donde es el valor límite.
Los componentes de la notación del límite son:
Existen dos tipos de límites laterales:
Para que el límite exista, ambos límites laterales deben existir y ser iguales. Si son diferentes, el límite general no existe.
🔍 Atención: No confundas el límite con el valor de la función en ese punto. Una función puede tener límite en un punto aunque no esté definida allí, o el valor de la función puede ser diferente al del límite.
Cuando tenemos la gráfica de una función, podemos estimar visualmente los límites siguiendo la curva hacia el punto de interés.
Para determinar el límite por la izquierda $\lim_{x \to a^-} f(x)$:
Para el límite por la derecha $\lim_{x \to a^+} f(x)$:
En el ejemplo de la gráfica mostrada, cuando se acerca a 3 por la izquierda, la función se aproxima a 2, mientras que por la derecha se aproxima a 3. Como estos valores son diferentes, el límite general no existe.
📊 Visualización: Imagina que caminas por la gráfica hacia el punto de interés. El límite es como el "destino" al que te diriges, que puede ser diferente según la dirección por la que te acerques.
Las tablas de valores son otra herramienta útil para estimar límites, especialmente cuando no tenemos la gráfica.
Para utilizar este método:
Analizando las tablas del ejemplo, cuando se acerca a 6 por la izquierda, los valores de tienden a 9. Sin embargo, cuando se acerca a 6 por la derecha, los valores crecen sin límite. Por tanto, el límite por la derecha no existe y, consecuentemente, tampoco el límite general.
Al trabajar con funciones a trozos:
🧮 Estrategia: Cuando los valores en la tabla se hacen extremadamente grandes (o pequeños) a medida que te acercas al punto, generalmente indica que el límite no existe o es infinito.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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Las funciones a trozos y los límites son conceptos matemáticos fundamentales que te permitirán analizar el comportamiento de funciones en diferentes puntos. Estos temas son esenciales para el cálculo y te ayudarán a comprender cómo cambian las funciones cuando las... Mostrar más
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Una función a trozos es aquella que tiene diferentes reglas según el intervalo del dominio en el que se encuentre el valor de entrada. Es como tener varias mini-funciones en una sola.
La forma general de una función a trozos se representa así:
Otros
Biologia
Religión
Inglés
Químicaf(x) = {
Expr₁ si Subconjunto₁
Expr₂ si Subconjunto₂
...
Exprₙ si Subconjuntoₙ
}
Puedes representar funciones a trozos de tres maneras:
💡 Consejo práctico: Cuando trabajes con funciones a trozos, identifica primero los puntos donde cambia la regla. Estos puntos son clave para entender el comportamiento de la función y para calcular límites correctamente.
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El límite es el valor al que se acerca una función cuando la variable independiente se aproxima a un cierto punto. Lo escribimos como , donde es el valor límite.
Los componentes de la notación del límite son:
Existen dos tipos de límites laterales:
Para que el límite exista, ambos límites laterales deben existir y ser iguales. Si son diferentes, el límite general no existe.
🔍 Atención: No confundas el límite con el valor de la función en ese punto. Una función puede tener límite en un punto aunque no esté definida allí, o el valor de la función puede ser diferente al del límite.
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Cuando tenemos la gráfica de una función, podemos estimar visualmente los límites siguiendo la curva hacia el punto de interés.
Para determinar el límite por la izquierda $\lim_{x \to a^-} f(x)$:
Para el límite por la derecha $\lim_{x \to a^+} f(x)$:
En el ejemplo de la gráfica mostrada, cuando se acerca a 3 por la izquierda, la función se aproxima a 2, mientras que por la derecha se aproxima a 3. Como estos valores son diferentes, el límite general no existe.
📊 Visualización: Imagina que caminas por la gráfica hacia el punto de interés. El límite es como el "destino" al que te diriges, que puede ser diferente según la dirección por la que te acerques.
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Las tablas de valores son otra herramienta útil para estimar límites, especialmente cuando no tenemos la gráfica.
Para utilizar este método:
Analizando las tablas del ejemplo, cuando se acerca a 6 por la izquierda, los valores de tienden a 9. Sin embargo, cuando se acerca a 6 por la derecha, los valores crecen sin límite. Por tanto, el límite por la derecha no existe y, consecuentemente, tampoco el límite general.
Al trabajar con funciones a trozos:
🧮 Estrategia: Cuando los valores en la tabla se hacen extremadamente grandes (o pequeños) a medida que te acercas al punto, generalmente indica que el límite no existe o es infinito.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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