Límites infinitos y al infinito

Los límites infinitos ocurren cuando una función crece sin parar al acercarse a cierto valor. ¡Imagina que lanzas una pelota hacia arriba! Su velocidad disminuye hasta llegar a cero en el punto más alto.

Cuando trabajamos con límites infinitos, necesitamos analizar qué pasa cuando nos acercamos a un valor específico. Por ejemplo:

$\lim_{x\to 4} \frac{x^4}{x-4}$ es un límite infinito porque cuando x se acerca a 4, el denominador se hace muy pequeño, mientras que el numerador se mantiene grande, haciendo que el resultado "explote" hacia infinito.

💡 Truco útil: Cuando tengas una fracción en un límite y el denominador se acerca a cero, pero el numerador no, el límite será infinito (positivo o negativo dependiendo de los signos).

Para calcular límites al infinito, como $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2-x-2}{5x^2+4x+1}$, debemos fijarnos en los términos de mayor potencia. Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de x y verás que muchos términos se vuelven insignificantes cuando x es muy grande.

El teorema para límites de funciones compuestas dice que si $\lim_{x\to a} g(x) = L$ y $f$ es continua en $L$, entonces $\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L)$. Esto nos permite resolver límites complicados paso a paso.

Continuidad y asíntotas

Una función es continua en un punto cuando su gráfica no tiene saltos, huecos o interrupciones. Básicamente, puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

Para verificar si una función es continua en un punto $x = a$, debemos comprobar tres condiciones:

• $f(a)$ existe (la función está definida en ese punto)
• $\lim_{x\to a} f(x)$ existe (el límite existe)
• $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ (el límite coincide con el valor de la función)

Las asíntotas verticales ocurren cuando una función se acerca al infinito al aproximarse a cierto valor de x. Por ejemplo, en la función $tan(x)$, hay asíntotas verticales en $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$, etc.

Las asíntotas horizontales aparecen cuando una función se acerca a un valor fijo a medida que x crece hacia el infinito. Como vemos en la gráfica de $tan^{-1}(x)$, que se acerca a $\frac{\pi}{2}$ cuando x tiende a infinito.

🔍 ¡Interesante!: La función $arctan(x)$ o $tan^{-1}x$ tiene asíntotas horizontales en $y = \frac{\pi}{2}$ y $y = -\frac{\pi}{2}$, pero nunca llega a tocarlas, sin importar qué tan grande sea el valor de x.

Para hacer un bosquejo de una gráfica, debemos identificar:

• Asíntotas verticales y horizontales
• Intersecciones con los ejes
• Comportamiento cerca de puntos críticos

Funciones por tramos y continuidad

Las funciones por tramos están definidas de manera diferente en distintas partes de su dominio. Para analizar su continuidad, debemos examinar cada "costura" donde cambia la definición.

Por ejemplo, en una función definida como:

$f(x) = \begin{cases} \frac{(x+1)^2 - 1}{x} & \text{si } x < 0, \ 2, & \text{si } x = 0 \ \frac{x^2 + 8x}{\text{sen } 4x} & \text{si } x > 0, \end{cases}$

Para verificar si es continua en $x = 0$, calculamos:

1. El límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} \frac{(x+1)^2 - 1}{x}$
2. El límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 8x}{\text{sen } 4x}$
3. El valor de la función en $x = 0$: $f(0) = 2$

Si los tres valores coinciden, la función es continua en $x = 0$.

💡 Recuerda: Una función es continua en un intervalo $a,b$ si es continua en todos los puntos de ese intervalo.

Para funciones racionales, como:

$f(x) = \frac{(x+1)^2 - 1}{x}$

Podemos simplificar algebraicamente: $\frac{(x+1)^2 - 1}{x} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 1}{x} = \frac{x^2 + 2x}{x} = x + 2$ para $x \neq 0$

Esto nos ayuda a calcular límites de forma más sencilla.

Derivadas: definición y propiedades

La derivada de una función nos dice cuán rápido cambia la función en un punto dado. Imagina que estás conduciendo un auto: la posición es la función, y la velocidad es la derivada.

La definición formal de la derivada es: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Este límite representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto $(x, f(x))$.

Para la posición de un carrito, $s(t) = 7 + \sqrt{3}(t+1)$, la velocidad instantánea es: $v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h} = \frac{d}{dt}[7 + \sqrt{3}(t+1)] = \sqrt{3}$

🚗 Ejemplo práctico: Si un auto se mueve según $s(t) = 7 + \sqrt{3}(t+1)$ cm, su velocidad es constante e igual a $\sqrt{3}$ cm/min.

Las propiedades de las derivadas incluyen:

• La derivada de una constante es cero: $\frac{d}{dx}[c] = 0$
• La derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$
• Regla de la suma: $(f + g)' = f' + g'$
• Regla del producto: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
• Regla del cociente: $(\frac{f}{g})' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto $(a, f(a))$, usamos: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Reglas de derivación y aplicaciones

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin usar la definición del límite cada vez. ¡Esto nos ahorra mucho trabajo!

Algunas reglas importantes:

• Derivada de funciones trigonométricas:

  • $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$
  • $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$
  • $\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$

• Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas:

  • $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$
  • $\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$
  • $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a$

• Regla de la cadena: $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

📝 Truco para recordar: La regla de la cadena dice que cuando derivamos una función compuesta, derivamos "de afuera hacia adentro" y multiplicamos.

Ejemplos de aplicación:

Para $f(x) = \sqrt{x^5}$, usamos la regla de la potencia y la cadena: $f'(x) = \frac{1}{2}(x^5)^{-1/2} \cdot 5x^4 = \frac{5x^4}{2\sqrt{x^5}} = \frac{5x^4}{2x^{5/2}} = \frac{5}{2}x^{3/2}$

Para $f(x) = x^{1/2} \cdot \cos x$, usamos la regla del producto: $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} \cdot \cos x + x^{1/2} \cdot (-\sin x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \sin x$

Estas reglas son herramientas poderosas para analizar el comportamiento de funciones en diversos campos como física, economía y biología.

Aplicación de derivadas y ejercicios conceptuales

Cuando analizamos gráficas, las derivadas nos ayudan a entender su comportamiento. Si $f'(x) > 0$, la función crece; si $f'(x) < 0$, decrece.

Para determinar si una función es derivable en un punto, necesitamos verificar si existe el límite: $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Importante: Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto.

⚠️ Atención: Una función puede ser continua en un punto pero no derivable. Por ejemplo, $f(x) = |x|$ es continua en $x = 0$ pero no es derivable allí porque la gráfica tiene un "pico".

Algunos casos donde una función no es derivable:

• Puntos donde la función tiene un salto (discontinuidad)
• Puntos con picos o esquinas como en $|x|$ en $x = 0$
• Puntos donde la tangente es vertical (pendiente infinita)

Derivadas de funciones compuestas: Si $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, entonces $h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Ejercicios de aplicación: Si $h(x) = f(g(x))$ y sabemos que $h'(1) = 4$, $f(1) = 1$, $g(1) = 2$, $f'(1) = 3$, entonces podemos encontrar $g'(1)$ usando la regla de la cadena: $h'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \cdot g'(1) = 4$

Estas herramientas son fundamentales para resolver problemas en ciencias, ingeniería y economía.

Análisis de funciones y estudio de límites

Cuando estudiamos el comportamiento de una función, necesitamos analizar varios aspectos:

1. Dominio: el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida
2. Continuidad: puntos donde la función no tiene saltos o huecos
3. Derivabilidad: puntos donde existe la pendiente de la recta tangente
4. Asíntotas: líneas a las que la función se acerca pero nunca alcanza

Para comprobar si una función es continua, necesitamos verificar tres condiciones:

• La función está definida en el punto
• Existe el límite de la función en ese punto
• El valor de la función coincide con el límite

🔍 Observación importante: Una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ tiene asíntotas verticales en los valores de x donde $Q(x) = 0$, y asíntotas horizontales cuando el grado de P es menor o igual al grado de Q.

Funciones compuestas: Si $g$ es continua en $x = a$ y $f$ es continua en $g(a)$, entonces la función compuesta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ es continua en $x = a$.

Límites especiales:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Para funciones como $f(x) = \frac{1}{\ln x}$, podemos identificar asíntotas verticales en $x = 1$ porque $\ln 1 = 0$ y tenemos una división por cero.

Estos conceptos nos ayudan a entender cómo se comportan las funciones en diferentes puntos y nos permiten predecir su gráfica.

Derivabilidad y análisis gráfico

Para analizar si una función es derivable, debemos examinar si la pendiente de la recta tangente existe en cada punto. La derivada $f'(a)$ existe si y solo si:

$\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Es decir, los límites laterales de la razón de cambio deben ser iguales.

Casos donde una función NO es derivable:

1. En puntos con picos como $f(x) = |x|$ en $x = 0$
2. En puntos con tangente vertical (pendiente infinita)
3. En puntos con saltos (discontinuidades)

💡 Dato curioso: Una función continua puede no ser derivable, pero una función derivable siempre es continua.

Interpretación geométrica: La derivada $f'(a)$ representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$.

Interpretación física: Si $s(t)$ representa la posición, entonces $s'(t)$ es la velocidad y $s''(t)$ es la aceleración.

Para una función como $s(t) = 1 + 2t$ (posición en metros, tiempo en segundos):

• La velocidad es $v(t) = s'(t) = 2$ m/s (constante)
• La aceleración es $a(t) = s''(t) = 0$ m/s² (no hay aceleración)

Este tipo de análisis es fundamental para entender el movimiento en física y muchas aplicaciones en ingeniería.

Funciones racionales y aplicaciones

Las funciones racionales son cocientes de polinomios $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $Q(x) \neq 0$. Su comportamiento está determinado por:

• Asíntotas verticales: ocurren en los valores donde $Q(x) = 0$
• Asíntotas horizontales: aparecen cuando el grado de $P$ es menor o igual al grado de $Q$
• Asíntotas oblicuas: se presentan cuando el grado de $P$ es exactamente uno más que el grado de $Q$

Para analizar el comportamiento de una función racional como $f(x) = \frac{x^2}{(x-5)^3}$:

1. Encontramos las asíntotas verticales (donde el denominador es cero): $x = 5$
2. Calculamos límites laterales: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \infty$
3. Verificamos si hay asíntotas horizontales: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ undefined

🔢 Ejemplo práctico: En modelos de crecimiento poblacional, funciones racionales como $P(t) = \frac{K \cdot P_0}{P_0 + (K-P_0)e^{-rt}}$ describen cómo una población se acerca a su capacidad máxima K con el tiempo.

Funciones definidas por tramos: Para analizar la continuidad y derivabilidad de funciones como:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 2x}{\tan 3x} & \text{si } x < 0, \ \frac{2}{3}, & \text{si } x = 0 \ \frac{x^3 + 5x^2 - x}{x^2 - 3x} & \text{si } x > 0, \end{cases}$

Debemos verificar si los límites laterales coinciden con el valor de la función en cada punto de "costura".

Estos análisis son fundamentales en modelado matemático, física, ingeniería y economía.

Problemas de aplicación y repaso

Los conceptos de límites, continuidad y derivadas tienen muchas aplicaciones prácticas. Veamos algunos ejemplos:

Aplicación 1: Crecimiento de usuarios en redes sociales

Para un modelo como $U(t) = \frac{500,000}{1 + 49e^{-0.015t}}$ donde $U(t)$ es el número de usuarios después de $t$ meses:

• Podemos predecir cuántos usuarios habrá en cualquier momento
• Podemos calcular cuándo se alcanzará cierta cantidad de usuarios
• La derivada $U'(t)$ nos dice cuán rápido está creciendo la red social

Aplicación 2: Movimiento de objetos

Para la posición $s(t) = 7 + \sqrt{3}(t+1)$ de un objeto:

• La velocidad es $v(t) = s'(t) = \sqrt{3}$ (constante)
• Si queremos una velocidad específica, podemos calcular cuándo ocurre

🎯 Consejo para exámenes: Al analizar dominios de funciones compuestas como $(g \circ f)(x)$, recuerda que $x$ debe estar en el dominio de $f$ y $f(x)$ debe estar en el dominio de $g$.

Repaso de conceptos clave:

1. Límites: Describen el comportamiento de una función cerca de un punto, incluso si la función no está definida allí.

2. Continuidad: Una función es continua si no tiene saltos, huecos o asíntotas verticales.

3. Derivadas: Miden la rapidez con que cambia una función y representan pendientes de rectas tangentes.

Estos conceptos matemáticos son las herramientas básicas para modelar fenómenos en ciencias, ingeniería, economía y muchos otros campos.