Primer Teorema Fundamental del Cálculo

El primer teorema fundamental nos dice que para calcular una integral definida, solo necesitamos encontrar una antiderivada F(x) de la función y evaluarla en los límites:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) |_{a}^{b}$

Por ejemplo, para calcular el área bajo la curva $y=x^2$ en el intervalo $0,2$:

Área = $\int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{x^3}{3}|_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

Para integrales más complejas, como $\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x\sqrt{\ln x}} dx$, podemos usar la sustitución $u = \ln x$, lo que nos da $du = \frac{1}{x} dx$.

💡 Consejo práctico: Cuando veas expresiones con logaritmos dentro de raíces o en denominadores, la sustitución $u = \ln x$ suele simplificar enormemente el problema.

Cambio de Variables en Integrales Definidas

El cambio de variables nos permite transformar integrales complicadas en otras más sencillas. La fórmula general es:

$\int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$

Donde hacemos $u = g(x)$ y $du = g'(x)dx$

Por ejemplo, para calcular $\int_0^1 \sqrt{2t + 3} dt$:

1. Hacemos $u = 2t + 3$
2. Cuando $t=0 \rightarrow u=3$ y cuando $t=1 \rightarrow u=5$
3. También $du = 2dt$, por lo tanto $dt = \frac{du}{2}$
4. La integral se convierte en $\frac{1}{2}\int_3^5 \sqrt{u} du = \frac{1}{3}(5^{3/2} - 3^{3/2}) \approx 1,99473$

Segunda versión del teorema: Si $F(x) = \int_a^x f(t) dt$, entonces F(x) es una antiderivada de f(x).

💡 Recuerda: En integrales definidas con cambio de variables, no es necesario "devolver" la variable original después de integrar. ¡Puedes evaluar directamente usando los nuevos límites!

Aplicaciones del Segundo Teorema

El segundo teorema nos permite encontrar derivadas de funciones definidas como integrales. Por ejemplo:

Si calculamos $\int_{1}^{x} t^3 dt = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4}$, entonces su derivada es $F'(x) = x^3$

Este teorema también nos ayuda a resolver límites complejos usando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x\to 0} \int_{0}^{x} \sqrt{\sec t} dt = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \sqrt{\sec t} dt}{2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{\sec x}}{2} = \frac{1}{2}$

Regla de la cadena para el segundo teorema:

Si $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$, entonces: $\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)$

Por ejemplo, si $G(x) = F(\sin x) = \int_{1}^{\sin x} t^3 dt = \frac{\sin^4 x}{4} - \frac{1}{4}$ Entonces $G'(x) = \sin^3 x \cdot \cos x$

💡 Truco útil: Cuando derivas una integral con límites variables, recuerda la fórmula clave: agrega lo que entra por el límite superior y resta lo que sale por el límite inferior.

Derivadas de Integrales con Límites Variables

Para entender mejor cómo derivar integrales definidas con límites variables, recordemos:

$\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)$

Ejemplo práctico: Si $G(x) = \int_{2x}^{x^3} e^{3t^2} dt$, para calcular $G'(0)$:

1. Primero hallamos la derivada general: $G'(x) = e^{3(x^3)^2} \cdot 3x^2 - e^{3(2x)^2} \cdot 2$

2. Evaluamos en $x=0$: $G'(0) = e^0 \cdot (3 \cdot 0^2) - e^0 \cdot 2 = 0 - 2 = -2$

Propiedades de la Integral Definida

Estas propiedades son fundamentales para resolver problemas complejos:

1. $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$ (Saca constantes)
2. $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$ (Aditividad de intervalos)
3. $\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx$ (Linealidad)
4. $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$ (Cambio de límites)

💡 Nota importante: Estas propiedades te permiten descomponer integrales complicadas en partes más manejables, ¡una estrategia clave para resolver ejercicios difíciles!

Integrales de Funciones por Partes

Para funciones definidas por partes, debemos dividir la integral en los intervalos correspondientes:

Por ejemplo, si $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \ 3x, & \text{si } 3 \leq x \leq 4 \end{cases}$

Para calcular $\int_0^4 f(x) dx$, dividimos:

$\int_0^4 f(x) dx = \int_0^3 x^2 dx + \int_3^4 3x dx = \frac{x^3}{3} \big|_0^3 + \frac{3x^2}{2} \big|_3^4$

$= (9 - 0) + \frac{3}{2}(16 - 9) = 9 + \frac{21}{2} = \frac{39}{2}$

Integrales con Valor Absoluto

Las integrales con valor absoluto requieren identificar dónde la función cambia de signo.

Para calcular $\int_0^5 |3x-2| dx$, primero determinamos dónde $3x-2=0$, que es en $x=\frac{2}{3}$. Por tanto:

$|3x-2| = \begin{cases} -(3x-2), & \text{si } x < \frac{2}{3} \ 3x-2, & \text{si } x \geq \frac{2}{3} \end{cases}$

Esto nos lleva a dividir la integral: $\int_0^5 |3x-2| dx = \int_0^{2/3} -(3x-2) dx + \int_{2/3}^5 (3x-2) dx$

💡 Estrategia clave: Para integrales con valor absoluto, identifica primero los puntos donde la función cambia de signo. Esto te ahorrará tiempo y errores.

Resolviendo Integrales con Valor Absoluto

Continuando con nuestro ejemplo, tenemos:

$\int_0^5 |3x-2| dx = \int_0^{2/3} -(3x-2) dx + \int_{2/3}^5 (3x-2) dx$

$= \int_0^{2/3} (-3x+2) dx + \int_{2/3}^5 (3x-2) dx$

$= $-\frac{3x^2}{2} + 2x$0^{2/3} + $\frac{3x^2}{2} - 2x${2/3}^5$

Al evaluar estos límites: $= [-\frac{3(2/3)^2}{2} + 2(2/3) - 0] + [\frac{3(5)^2}{2} - 2(5) - \frac{3(2/3)^2}{2} + 2(2/3)]$

$= [-\frac{2}{3} + \frac{4}{3}] + [\frac{75}{2} - 10 - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}]$

$= \frac{2}{3} + [\frac{75}{2} - 10 - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}] = \frac{173}{6}$

Este método paso a paso nos asegura llegar al resultado correcto. Otra forma de visualizarlo es mediante áreas en el plano cartesiano, considerando el área por encima del eje x para $x < \frac{2}{3}$ y el área por debajo para $x > \frac{2}{3}$.

💡 Consejo práctico: Cuando trabajes con valores absolutos, utiliza la definición por partes. Esto convierte un problema complicado en dos integrales más sencillas.

Teorema del Valor Medio para Integrales

El teorema del valor medio nos dice que para cualquier función continua en $a,b$, existe al menos un punto c en ese intervalo donde:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = f(c)(b-a)$

Esto significa que el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo de altura f(c) y base $b-a$.

Ejemplo: Encontrar c en $0,2$ que cumpla el teorema para f(x) = x²

$\int_{0}^{2} x² dx = c² (2-0)$

$\frac{x^3}{3}|_0^2 = 2c^2$

$\frac{8}{3} = 2c^2$

$c^2 = \frac{4}{3}$

$c = \sqrt{\frac{4}{3}} \approx 1.155$

El valor de c representa un punto donde la función f(x) alcanza su "altura promedio" en el intervalo.

💡 Interpretación geométrica: El teorema del valor medio nos dice que siempre hay un punto donde la altura de la función es exactamente la altura promedio en todo el intervalo. ¡Es como encontrar el punto de equilibrio de la función!