Límites infinitos y asíntotas verticales

Un límite infinito ocurre cuando el valor de una función crece o decrece sin límite mientras la variable x se aproxima a un valor específico. Estos límites pueden ser positivos $\infty$ o negativos $-\infty$ y pueden ocurrir al acercarse por la izquierda, por la derecha o por ambos lados.

Cuando una función tiene un límite infinito en x = a, decimos que tiene una asíntota vertical en esa coordenada. La asíntota vertical es una línea recta $x = a$ a la que la gráfica de la función se acerca pero nunca toca, mientras los valores de la función crecen o decrecen sin límite.

Podemos tener diferentes comportamientos en las asíntotas verticales. Por ejemplo, la función puede tender a infinito positivo al acercarse por la derecha y a infinito negativo al acercarse por la izquierda, o viceversa.

💡 Una forma práctica de identificar posibles asíntotas verticales en funciones racionales es buscando los valores que hacen que el denominador sea cero, pues estos provocan una división por cero que resulta en un valor infinito.

Identificación de asíntotas verticales

Las asíntotas verticales aparecen en la gráfica cuando la función tiende a infinito al acercarse a un valor específico. Visualmente, la curva se acerca a una línea vertical sin tocarla jamás, pudiendo aproximarse por arriba o por abajo.

Para determinar si una función tiene asíntotas verticales, debemos:

1. Identificar los candidatos a asíntotas (valores donde el denominador es cero en funciones racionales)
2. Calcular los límites al acercarnos a ese valor por la izquierda y por la derecha
3. Si alguno de esos límites es infinito, entonces existe una asíntota vertical

En funciones racionales, los candidatos son los valores donde el denominador es cero. Para funciones logarítmicas, debemos examinar los límites del dominio. Una función puede tener varias asíntotas verticales, incluso infinitas.

💡 Recuerda estas relaciones importantes: $\frac{0}{0}$ es una indeterminación, $\frac{\infty}{0} = \infty$, y $\frac{0}{\infty}$ es indeterminado. Estas te ayudarán a evaluar los límites correctamente.

Cálculo de asíntotas verticales

Cuando evaluamos límites para encontrar asíntotas verticales, es crucial analizar si realmente el límite se vuelve infinito o si podemos simplificar la expresión.

Veamos cómo se analiza la función $f(x) = \frac{x^2-16}{x+4}$: Primero identificamos que x = -4 hace el denominador cero. Sin embargo, al calcular el límite, obtenemos $\frac{0}{0}$, que es una indeterminación. Al factorizar el numerador como $(x-4)(x+4)$, nos queda $\lim_{x\to-4} (x-4) = -8$. Como el resultado es un número finito, ¡no hay asíntota vertical!

En cambio, para $f(x) = \frac{x^2}{x^2-x-6}$, factorizamos el denominador como $(x-3)(x+2)$ y obtenemos candidatos x = 3 y x = -2. Al evaluar los límites:

• En x = -2: $\lim_{x\to-2} \frac{x^2}{(x-3)(x+2)} = \frac{4}{0} = \pm\infty$
• En x = 3: $\lim_{x\to3} \frac{x^2}{(x-3)(x+2)} = \frac{9}{0} = \pm\infty$

💡 No te conformes con ver un cero en el denominador; siempre verifica si puedes simplificar la expresión antes de concluir que existe una asíntota vertical.

Límites en el infinito

Un límite en el infinito describe el comportamiento de una función cuando la variable x crece $x \rightarrow \infty$ o decrece $x \rightarrow -\infty$ sin límite. Si la función tiende a un valor constante L, decimos que L es el límite en el infinito.

Existen varias posibilidades para estos límites:

• Sólo existe uno de los dos límites (por derecha o por izquierda)
• Ambos límites existen y son iguales
• Ambos límites existen pero son diferentes
• Ninguno de los límites existe

Para funciones logarítmicas como $f(x)=\ln(x-3)$, el candidato a asíntota vertical es x = 3. Al calcular $\lim_{x \to 3^{+}} \ln(x-3) = \ln(0^{+})=-\infty$, confirmamos que hay una asíntota vertical.

💡 Los límites en el infinito son fundamentales para entender cómo se comporta una función a "largo plazo" y son la base para identificar asíntotas horizontales. Piensa en ellos como el "destino final" de la función cuando x se aleja extremadamente.

Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal es una línea recta y = L a la que la gráfica de una función se acerca cuando x tiende a infinito. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$, entonces y = L es una asíntota horizontal.

Pueden presentarse varios casos:

• La función se aproxima al valor L cuando x tiende a infinito positivo
• La función se aproxima al valor L cuando x tiende a infinito negativo
• La función se aproxima al mismo valor L en ambas direcciones
• La función se aproxima a valores diferentes $L_1$ y $L_2$ en cada dirección

Si los límites en el infinito no existen (por ejemplo, si la función oscila o crece sin límite), entonces no hay asíntotas horizontales.

💡 Una asíntota horizontal representa el "valor límite" que alcanza una función cuando x crece o decrece enormemente. Es como un techo o piso que la gráfica nunca logra tocar, pero al que se acerca cada vez más.

Límites en el infinito para funciones racionales

Cuando trabajamos con funciones racionales $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, donde p y q son polinomios, el comportamiento en el infinito depende de los grados de estos polinomios.

Si tenemos $f(x) = \frac{a_mx^m + ... + a_0}{b_nx^n + ... + b_0}$, donde $a_m$ y $b_n$ son los coeficientes de los términos de mayor grado:

• Si m < n: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ (la función se acerca a cero)
• Si m > n: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \pm\infty$ (la función crece sin límite)
• Si m = n: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a_m}{b_n}$ (la función se acerca al cociente de los coeficientes principales)

Por ejemplo, en $f(x) = \frac{3x^3 - 4x^2 + 1}{x^5 + 4x^3 - 1}$, como el grado del numerador (3) es menor que el del denominador (5), el límite cuando x tiende a infinito es 0.

💡 Para recordar fácilmente: cuando el grado del numerador es menor, la función "se aplasta" hacia el eje x; cuando es mayor, "escapa" hacia arriba o abajo; y cuando son iguales, se acerca a la razón de los coeficientes principales.