Bases de un Espacio Vectorial

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple dos condiciones cruciales: es linealmente independiente y genera todo el espacio vectorial. Esto significa que cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base, y de una única manera.

Las bases canónicas son las más utilizadas en diferentes espacios vectoriales:

• En $\mathbb{R}^2$: {$\vec{i}$, $\vec{j}$} = {$\begin{pmatrix} 1\0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0\1 \end{pmatrix}$}
• En $\mathbb{R}^3$: {$\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$} = {$\begin{pmatrix} 1\0\0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0\1\0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0\0\1 \end{pmatrix}$}
• En $\mathbb{P}^2$ (polinomios de grado ≤ 2): {1, x, $x^2$}
• En $\mathbb{P}^n$ (polinomios de grado ≤ n): {1, x, $x^2$, ..., $x^n$}

💡 Truco para recordar: Una base es como un conjunto mínimo de "ingredientes" con los que puedes "cocinar" cualquier vector del espacio. Necesitas tener justo lo necesario: ni más (serían linealmente dependientes) ni menos (no generarían todo el espacio).

Bases en Matrices y Ejemplos Prácticos

Las matrices también tienen bases canónicas. Por ejemplo, para matrices de 2×2, la base consiste en cuatro matrices donde cada una tiene un único 1 y el resto son ceros.

En espacios como $\mathbb{R}^n$, un conjunto de n vectores linealmente independientes siempre formará una base. Por ejemplo:

• En $\mathbb{R}^2$: Los vectores $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}$ son linealmente independientes, por lo tanto forman una base.
• En $\mathbb{R}^3$: Los vectores $\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$ forman una base.

Un subespacio como un plano en $\mathbb{R}^3$ por ejemplo: ${(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 : 3a - 4b + 5c = 0}$ nunca puede ser base para todo $\mathbb{R}^3$. Esto se debe a que un subespacio propio no puede generar todo el espacio vectorial principal.

🔍 Observación clave: Un subespacio de dimensión menor como un plano en $\mathbb{R}^3$ nunca podrá generar un espacio de dimensión mayor. Es como intentar recrear un objeto tridimensional usando solo dos dimensiones.

Construcción y Propiedades de Bases

Para construir una base de $\mathbb{R}^3$ a partir de un conjunto de dos vectores H = \left{\begin{pmatrix} 1\1\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\-1\-1 \end{pmatrix}\right}, necesitamos encontrar un tercer vector que mantenga la independencia lineal. Aplicando operaciones elementales o calculando determinantes, descubrimos que necesitamos que la segunda y tercera componente sean diferentes.

El Teorema 1 nos asegura que todo espacio vectorial (excepto el trivial) tiene al menos una base. El espacio vectorial ${\vec{0}}$ no tiene base porque cualquier conjunto con el vector cero es linealmente dependiente.

El Teorema 2 establece que si B = {$v_1, v_2, ..., v_n$} es base para un espacio vectorial V, entonces todo vector $\vec{v} \in V$ puede escribirse de forma única como: $\vec{v} = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n$. Esta representación única es fundamental para muchas aplicaciones.

⭐ Dato importante: La unicidad de la representación de vectores mediante una base es lo que permite crear sistemas de coordenadas. Cuando escribes un punto como (3,4,5), estás expresando ese vector usando la base canónica.

Dimensión de Espacios Vectoriales

El Teorema 4 establece que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Este número define la dimensión del espacio vectorial, denotada como dim(V).

Las dimensiones de espacios vectoriales comunes son:

• dim$\mathbb{R}^3$ = 3
• dim$\mathbb{R}^n$ = n
• dim$M_{m\times n}$ = m×n (matrices de m filas y n columnas)
• dim$\mathbb{P}_2$ = 3 (polinomios de grado ≤ 2)
• dim$\mathbb{P}_n$ = n+1 (polinomios de grado ≤ n)

Los subespacios tienen dimensiones menores que el espacio completo. Por ejemplo:

• Planos en $\mathbb{R}^3$ que pasan por el origen: dimensión 2
• Rectas en $\mathbb{R}^3$ que pasan por el origen: dimensión 1

Para un subespacio como H = \left{\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 / 2a - b + c = 0 \right}, podemos despejar c = -2a + b y expresar los vectores como combinación lineal de $\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -2 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$, estableciendo que dim(H) = 2.

🧠 Analogía útil: La dimensión de un espacio vectorial es como la cantidad de "direcciones independientes" en las que te puedes mover. En una recta hay una dirección, en un plano hay dos, y en el espacio tridimensional hay tres.

Teoremas Fundamentales sobre Dimensión

El Teorema 5 relaciona conjuntos de vectores con la dimensión del espacio:

1. Si H es linealmente independiente, entonces m ≤ n (donde m es el número de vectores en H y n es la dimensión del espacio)
2. Si H genera el espacio V, entonces m ≥ n

Esto tiene importantes implicaciones. Por ejemplo, en un conjunto de vectores en $\mathbb{R}^3$, si tienes más de 3 vectores, seguro habrá dependencia lineal.

Al analizar conjuntos como H = \left{ \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 2 \ -1 \end{pmatrix} \right}, podemos determinar que no son linealmente independientes hay más de 3 vectores en $\mathbb{R}^3$, pero sí generan todo $\mathbb{R}^3$. De este conjunto, podemos extraer una base adecuada.

Algunos espacios vectoriales como los números complejos $\mathbb{C}$, el espacio de polinomios $\mathbb{P}$ o el espacio de funciones continuas $\mathbb{C}[a, b]$ tienen dimensión infinita, lo que significa que cualquier base tendría infinitos elementos.

🌟 Entendimiento clave: Cuando un conjunto tiene exactamente tantos vectores como la dimensión del espacio y son linealmente independientes, automáticamente forman una base. Esto te ahorra trabajo al verificar que generan todo el espacio.

Cálculo de Bases en Espacios Matriciales

Al trabajar con subespacios de matrices, podemos aplicar los mismos principios para encontrar bases. Por ejemplo, para el subespacio:

H = $\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c\d & e & f \end{pmatrix} \in M_{2\times3} / a-b+c-2d=0 \end{Bmatrix}$

Despejamos b = a+c-2d y expresamos cada matriz como: $\begin{pmatrix} a & b & c\d & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a+c-2d & c\d & e & f \end{pmatrix}$

Esto nos permite encontrar una base para H:

$\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}$

La dimensión de este subespacio es 5, menor que la dimensión de $M_{2\times3}$ que es 6.

💡 Aplicación práctica: Determinar la dimensión y una base para un subespacio te permite entender cuántos parámetros independientes necesitas para describir cualquier elemento de ese subespacio, simplificando problemas complejos.