Sistema de Coordenadas Cartesianas y Distancia entre Puntos

Cuando trabajamos con coordenadas cartesianas, podemos ubicar cualquier punto P(a,b) en un plano dividido en cuatro cuadrantes. Para calcular la distancia entre dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), utilizamos la fórmula:

|P₁P₂| = √$(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²$

Imagina que tienes dos puntos en el plano y quieres encontrar un punto M que esté sobre el segmento que los une. Podemos expresar la posición de este punto mediante dos parámetros λ y β, que representan las proporciones del segmento. Estos valores cumplen que λ + β = 1, donde λ = P₁M/P₁P₂ y β = MP₂/P₁P₂.

💡 Tip clave: Cuando calculamos distancias, siempre restamos coordenadas finales menos iniciales bajo la raíz cuadrada. Esta fórmula es fundamental para resolver problemas de geometría analítica.

Este principio nos permite dividir un segmento en cualquier proporción, lo que será útil para hallar puntos específicos como el punto medio.

División de Segmentos y Punto Medio

Cuando queremos encontrar un punto M en un segmento P₁P₂, podemos usar la fórmula:

• x = x₁ + λ$x₂ - x₁$
• y = y₁ + λ$y₂ - y₁$

Donde λ es la proporción en que se divide el segmento. Si queremos el punto medio exactamente, usamos λ = 1/2, lo que simplifica las ecuaciones a:

• x = $x₁ + x₂$/2
• y = $y₁ + y₂$/2

Por ejemplo, si tenemos los puntos P(-2,3) y Q(4,-2), podemos calcular:

1. La distancia: d = √$(4-(-2))² + (-2-3)²$ = √$36 + 25$ = √61
2. El punto medio: ((-2+4)/2, (3+(-2))/2) = (1, 1/2)

🔍 Observación importante: Para dividir un segmento en una razón específica $como 3/7$, simplemente sustituimos ese valor en λ y aplicamos las mismas fórmulas.

Esta técnica es fundamental para problemas de geometría analítica donde necesitas ubicar puntos a lo largo de segmentos en proporciones específicas.

Funciones y Correspondencias

Una función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A un único elemento y de un conjunto B. Esto significa que cada valor de entrada (variable independiente x) produce exactamente un valor de salida (variable dependiente y).

Para que una relación sea función, cada elemento del dominio debe relacionarse con un solo elemento del rango. Gráficamente, esto significa que una línea vertical trazada en cualquier valor de x solo puede intersectar la gráfica de la función en un único punto.

Por ejemplo, y = √x es una función porque cada número positivo tiene exactamente una raíz cuadrada positiva. Sin embargo, y = ±√x no es una función porque a cada x positivo le corresponden dos valores de y.

💡 Recuerda: Una manera fácil de verificar si una relación es función es aplicar la "prueba de la línea vertical". Si cualquier línea vertical corta la gráfica en más de un punto, no es una función.

Las funciones son herramientas matemáticas poderosas que nos permiten modelar relaciones entre variables en física, economía, biología y muchas otras áreas.

Evaluación de Funciones

Evaluar una función significa determinar el valor de y para diferentes valores de x. Simplemente sustituimos el valor de x en la expresión de la función y calculamos el resultado.

Por ejemplo, con la función f(x) = 2x³ - 5x² + 6, podemos evaluar:

1. Para x = -3: f(-3) = 2(-3)³ - 5(-3)² + 6 = 2(-27) - 5(9) + 6 = -54 - 45 + 6 = -93

2. Para x = 2/3: f(2/3) = 2(2/3)³ - 5(2/3)² + 6 = 2(8/27) - 5(4/9) + 6 = 16/27 - 20/9 + 6 = 118/27

🔍 Atención: Cuando evaluamos expresiones algebraicas como f(3t) o f$(2x-1)/2x$, estamos sustituyendo la variable x por otra expresión y simplificando el resultado.

También podemos evaluar expresiones más complejas como f$x+h$ - f(x), que son útiles para calcular tasas de cambio y derivadas en cálculo. La clave está en sustituir correctamente y simplificar paso a paso siguiendo las reglas algebraicas.

Dominio y Rango de Funciones

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable x para que la función sea válida. Es el mayor subconjunto de los números reales para el cual f(x) es un número real.

Para determinar el dominio, debemos tener en cuenta:

1. En divisiones, el denominador debe ser diferente de 0
2. En raíces de índice par, el radicando debe ser mayor o igual a 0
3. Con logaritmos, el argumento debe ser mayor que 0

El rango es el conjunto de todos los posibles resultados (imágenes) que produce la función al evaluar todos los valores del dominio.

🎯 Consejo práctico: Cuando determinas el dominio de una función, enfócate primero en identificar las "restricciones" (valores que hacen indefinida la función) y luego excluye esos valores del conjunto de números reales.

Por ejemplo, en y = √x, el dominio es ℝ⁺ (números reales positivos) porque no podemos calcular la raíz cuadrada de números negativos en los números reales. En y = 1/$x+2$, el dominio es ℝ-{-2} porque no podemos dividir por cero.

Cálculo de Dominios de Funciones

Veamos cómo calcular el dominio de diferentes tipos de funciones:

1. Para funciones racionales como y = $3x² - 1$/$x² - 9$:

   • Igualamos el denominador a cero: x² - 9 = 0
   • Resolvemos: $x - 3$$x + 3$ = 0, por lo que x = ±3
   • El dominio es ℝ - {-3, 3} o escrito como intervalos: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)

2. Para funciones con raíces como y = √$20x - 5x³$:

   • El radicando debe ser ≥ 0: 20x - 5x³ ≥ 0
   • Factorizamos: 5x$4 - x²$ ≥ 0
   • Resolvemos la desigualdad para obtener que x ∈ $0, 2$

💡 Tip útil: Para resolver desigualdades con productos de factores, identifica los valores donde cada factor es cero y analiza el signo en cada intervalo resultante.

3. Para funciones con logaritmos como y = ln$-x$:
   • El argumento debe ser positivo: -x > 0
   • Resolvemos: x < 0
   • Por lo tanto, el dominio es (-∞, 0)

Recuerda simplificar las expresiones y verificar todas las restricciones para determinar correctamente el dominio de una función.

Más Ejemplos de Dominios y Rectas

Para funciones racionales simples como y = $2x-5$/$x²+9$, el dominio es ℝ completo porque el denominador nunca es cero $x²+9 siempre es positivo$.

Con funciones más complejas, debemos analizar todas las condiciones. Por ejemplo, en y = √$(2x+8)/(4-x²)$:

1. El denominador no puede ser 0: x ≠ ±2
2. El numerador debe ser ≥ 0: 2x+8 ≥ 0, por tanto x ≥ -4
3. El denominador debe ser > 0: 4-x² > 0, lo que implica -2 < x < 2

Combinando estas condiciones, obtenemos el dominio.

Pasando a rectas, la pendiente (m) mide la inclinación de una recta y se calcula como: m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$

🔍 Observación: La pendiente de una recta vertical es infinita $m=∞$ porque el denominador sería cero. Para rectas horizontales, m=0.

La pendiente está relacionada con el ángulo θ que forma la recta con el eje x mediante la relación: m = tan(θ).

Ecuaciones de Rectas

La ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por el punto (x₁,y₁) con pendiente m es: y - y₁ = m$x - x₁$

Esta ecuación se puede transformar a la forma pendiente-intercepto: y = mx + b donde b es el intercepto con el eje y $el valor de y cuando x=0$.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente $m₁ = m₂$. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 $m₁ · m₂ = -1$.

Por ejemplo, dados los puntos P(-3,5), Q(1,-7) y R(-1,-3):

1. Para una recta paralela a PQ que pasa por R:
   • Calculamos m = (-7-5)/(1-(-3)) = -12/4 = -3
   • Usamos la ecuación punto-pendiente: y-(-3) = -3$x-(-1)$
   • Simplificando: y = -3x - 6

🎯 Consejo: Para encontrar la ecuación de una recta perpendicular, primero calcula la pendiente de la recta original, luego toma su negativo e inverso para obtener la nueva pendiente.

2. Para una recta perpendicular a PQ que pasa por R:
   • m₁ · m₂ = -1, por lo que m₂ = -1/(-3) = 1/3
   • La ecuación es: y = $x/3$ - (8/3)