Fundamentos e Identidades Trigonométricas

Para resolver integrales trigonométricas, necesitás tener a mano las identidades fundamentales que van a ser tus mejores aliadas. Las más importantes son las identidades pitagóricas como $Sen^2(\alpha) + Cos^2(\alpha) = 1$ y sus variaciones.

También vas a usar mucho las identidades de ángulo doble: $Sen^2(\alpha) = \frac{1 - Cos(2\alpha)}{2}$ y $Cos^2(\alpha) = \frac{1 + Cos(2\alpha)}{2}$. Estas son clave cuando tenés potencias pares.

El primer caso se aplica cuando tenés $\int Sen^m(x)Cos^n(x)dx$ donde uno de los exponentes es impar. Si $m$ es impar, separás un $Sen(x)$ y convertís el resto usando $Sen^2(x) = 1 - Cos^2(x)$, luego hacés la sustitución $u = Cos(x)$.

Tip clave: Cuando uno de los exponentes es impar, siempre podés "robar" una función para la sustitución y usar identidades pitagóricas para el resto.

Ejemplos del Caso 1: Exponente Impar

Mirá cómo funciona en la práctica con $\int \cos^4(x)Sen^2(x)dx$. Como el exponente del seno es par (2), pero necesitamos un impar, reescribimos: $\int \cos^4(x)Sen(x)Sen(x)dx$.

Ahora aplicamos la identidad pitagórica: $Sen^2(x) = 1 - Cos^2(x)$, entonces queda $\int \cos^4(x)Sen(x)[1-Cos^2(x)]dx$. Hacemos la sustitución $u = Cos(x)$, entonces $du = -Sen(x)dx$.

La integral se convierte en $\int u^41-u^2 = -\int $u^4 - u^6$du$. Al resolver obtenemos$-\frac{u^5}{5} + \frac{u^7}{7} + C$, que al sustituir de vuelta nos da$-\frac{Cos^5(x)}{5} + \frac{Cos^7(x)}{7} + C$.

¡Ojo! No te olvides del signo negativo que aparece con la sustitución cuando $du = -Sen(x)dx$.

Caso 2: Exponentes Pares

Cuando ambos exponentes $m$ y $n$ son pares en $\int Sen^m(x)Cos^n(x)dx$, usás las identidades de ángulo doble. Esto convierte las potencias en expresiones con $Cos(2x)$.

Para $\int Sen^2(x)dx$, usás $Sen^2(x) = \frac{1-Cos(2x)}{2}$ y obtenés $\frac{1}{2}\int[1-Cos(2x)]dx = \frac{x}{2} - \frac{Sen(2x)}{4} + C$.

El truco está en que a veces necesitás aplicar las identidades varias veces. Por ejemplo, si después de la primera aplicación te queda $Cos^2(2x)$, tenés que usar de nuevo la identidad pero con $4x$: $Cos^2(2x) = \frac{1+Cos(4x)}{2}$.

Estrategia: Con exponentes pares, siempre reducí las potencias usando identidades de ángulo doble hasta llegar a integrales básicas.

Completando el Caso 2

Continuando con el ejemplo anterior de $\int Cos^4(x)dx$, después de aplicar las identidades obtenés una expresión que requiere múltiples pasos de integración.

Al desarrollar $\int[\frac{1+Cos(2x)}{2}]^2dx$, te aparece el término $Cos^2(2x)$ que necesitás volver a convertir usando $Cos^2(2x) = \frac{1+Cos(4x)}{2}$.

El resultado final es $\frac{3x}{8} + \frac{Sen(2x)}{4} + \frac{Sen(4x)}{32} + C$. Fijate cómo cada aplicación de identidades reduce gradualmente las potencias hasta llegar a integrales que podés resolver directamente.

Para $\int Sen^2(x)Cos^2(x)dx$, podés usar el truco de la diferencia de cuadrados: $(1-Cos(2x))(1+Cos(2x)) = 1-Cos^2(2x)$, que simplifica mucho el cálculo.

Consejo: Buscá siempre patrones como diferencia de cuadrados que te permitan simplificar antes de integrar.

Caso 3: Tangente y Secante con Exponente Impar

Para integrales del tipo $\int tg^m(x)Sec^n(x)dx$ cuando $m$ es impar, separás un factor $tg(x)Sec(x)$ y usás $tg^2(x) = Sec^2(x) - 1$.

En el ejemplo $\int tg^3(x)Sec^2(x)dx$, reescribís como $\int tg^2(x)Sec^2(x)tg(x)Sec(x)dx$. Luego aplicás la identidad: $\int[Sec^2(x)-1]Sec^2(x)tg(x)Sec(x)dx$.

Hacés la sustitución $u = Sec(x)$, entonces $du = Sec(x)tg(x)dx$. La integral se convierte en $\int(u^2-1)u^2du = \int(u^4-u^2)du$.

El resultado final es $\frac{Sec^5(x)}{5} - \frac{Sec^3(x)}{3} + C$. La clave está en reconocer cuándo tenés la derivada de la secante en el integrando.

Recordá: La derivada de $Sec(x)$ es $Sec(x)tg(x)$, por eso esta sustitución funciona tan bien.

Caso 3: Secante con Exponente Par

Cuando $n$ es par en $\int tg^m(x)Sec^n(x)dx$, separás $Sec^2(x)$ y usás $Sec^2(x) = 1 + tg^2(x)$ para el resto.

Con $\int tg^2(x)Sec^4(x)dx$, lo reescribís como $\int tg^2(x)Sec^2(x)Sec^2(x)dx$. Luego aplicás la identidad: $\int tg^2(x)[1+tg^2(x)]Sec^2(x)dx$.

La sustitución $u = tg(x)$ funciona perfecto porque $du = Sec^2(x)dx$. Tu integral se convierte en $\int u^2(1+u^2)du = \int(u^2+u^4)du$.

Integrando obtenés $\frac{tg^3(x)}{3} + \frac{tg^5(x)}{5} + C$. Este método es muy directo cuando reconocés el patrón.

Tip: Siempre buscá separar $Sec^2(x)$ cuando el exponente de la secante es par, porque es la derivada de la tangente.

Casos Especiales: Exponentes Mixtos

Cuando $m$ es par y $n$ es impar, como en $\int tg^2(x)Sec(x)dx$, usás $tg^2(x) = Sec^2(x) - 1$ para obtener $\int[Sec^2(x)-1]Sec(x)dx$.

Esto se separa en $\int Sec^3(x)dx - \int Sec(x)dx$. La segunda integral tiene una solución conocida pero requiere un truco especial.

Para resolver $\int Sec(x)dx$, multiplicás por $\frac{Sec(x)+tg(x)}{Sec(x)+tg(x)}$ y obtenés $\int\frac{Sec^2(x)+Sec(x)tg(x)}{Sec(x)+tg(x)}dx$.

Hacés la sustitución $u = Sec(x) + tg(x)$, y como $du = [Sec(x)tg(x) + Sec^2(x)]dx$, la integral se convierte en $\int\frac{1}{u}du = ln|Sec(x)+tg(x)| + C$.

Dato importante: La integral de la secante es un resultado que vale la pena memorizar: $\int Sec(x)dx = ln|Sec(x)+tg(x)| + C$.