Conceptos básicos de funciones

¿Sabés por qué las funciones son tan útiles? Porque nos permiten relacionar dos cantidades de manera precisa. Una función es como una máquina: por cada valor que le des (variable independiente x), te devuelve exactamente un resultado (variable dependiente y).

Lo más importante que tenés que recordar es esta regla de oro: cada elemento del dominio (Df) debe corresponder a uno y sólo uno del rango (Rf). Si un valor de x te da dos valores de y diferentes, entonces no es función.

Las funciones se clasifican en varios tipos principales: polinomiales $como f(x) = x² + 3x$, racionales (fracciones de polinomios), irracionales (con raíces) y trascendentales (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas). Cada tipo tiene sus propias características y aplicaciones.

¡Dato clave! El dominio (Df) son todos los valores de x que podés usar, y el rango (Rf) son todos los valores de y que obtenés como resultado.

Funciones compuestas

¡Acá es donde las cosas se ponen interesantes! Una función compuesta es como hacer dos operaciones seguidas: primero aplicás una función y después otra al resultado. Se escribe como f(g(x)) o f ∘ g(x).

Imaginá que tenés f(x) = x² y g(x) = √x. Para encontrar f(g(x)), primero calculás g(x) = √x, y después aplicás f a ese resultado: f(√x) = (√x)² = x. ¡Fijate que el orden importa! g(f(x)) = √(x²) = |x|, que es diferente.

Un ejemplo práctico: si f(x) = √x y g(x) = 4 - x², entonces f(g(x)) = √$4 - x²$. Para encontrar el dominio, necesitás que 4 - x² ≥ 0, lo que significa que x debe estar entre -2 y 2.

¡Tip de oro! Siempre trabajá de adentro hacia afuera: primero resolvé la función del interior, después aplicá la exterior.

Dominios y rangos avanzados

Cuando trabajás con funciones racionales e irracionales, encontrar el dominio es clave para no cometer errores. Recordá que no podés dividir por cero ni sacar raíz par de números negativos.

Para f(x) = 1/√$x² - 9$, necesitás que x² - 9 > 0 (mayor que cero porque está en el denominador). Esto significa que x² > 9, entonces |x| > 3, lo que nos da x ≤ -3 o x ≥ 3.

Las funciones racionales tienen asíntotas verticales donde el denominador se hace cero. Estas líneas invisibles son súper importantes para entender el comportamiento de la función. El rango de este ejemplo es (0, ∞) porque la función siempre es positiva.

¡Recordá! Las asíntotas aparecen cuando el denominador vale cero, y ahí la función "explota" hacia infinito.

Funciones a trozos

¿Alguna vez viste las tarifas de taxi que cambian según la distancia? Esas son funciones a trozos: diferentes reglas para diferentes intervalos. La función valor absoluto f(x) = |x| es el ejemplo más clásico.

Para |x|, usamos x cuando x ≥ 0, y -x cuando x < 0. Los intervalos deben ser disjuntos (sin superponerse) y su unión debe formar todo el dominio.

Un ejemplo más complejo es f(x) = |x² - 4|/$x - 2$. Primero identificás las restricciones (x ≠ 2), después analizás cuándo x² - 4 es positivo o negativo. Cuando x² ≥ 4 (|x| ≥ 2), la función es $x + 2$. Cuando x² < 4 (|x| < 2), es -$x + 2$.

¡Estrategia ganadora! Siempre empezá identificando dónde cambia el comportamiento de la función, después define cada trozo por separado.

Completando funciones a trozos

Continuando con nuestro ejemplo, la función queda: f(x) = x + 2 si x ≤ -2 o x > 2, y f(x) = -x - 2 si -2 < x < 2. El dominio excluye x = 2 porque ahí la función no está definida.

Las propiedades del valor absoluto son fundamentales: |x| ≥ k significa x ≤ -k o x ≥ k, mientras que |x| ≤ k significa -k ≤ x ≤ k. Estas reglas te van a salvar en los exámenes.

La gráfica de esta función muestra líneas rectas en cada intervalo, pero con una discontinuidad en x = 2. Es importante que identifiques estos puntos problemáticos desde el principio.

¡No te olvides! Los puntos donde la función no está definida se marcan con círculos abiertos en la gráfica.

Funciones trigonométricas: seno y coseno

¡Llegamos a las funciones trigonométricas! El seno y coseno son como las estrellas del rock de las matemáticas. Ambas tienen período 2π (se repiten cada 2π unidades) y amplitud 1 $oscilan entre -1 y 1$.

La función seno y = sen(x) empieza en el origen, sube hasta 1 en π/2, baja a 0 en π, sigue bajando hasta -1 en 3π/2, y vuelve a 0 en 2π. Su dominio es todos los números reales y su rango es [-1, 1].

La función coseno y = cos(x) es como el seno pero desplazado: empieza en 1, baja a 0 en π/2, sigue hasta -1 en π, y así sucesivamente. Tiene las mismas características que el seno pero diferente punto de partida.

¡Dato útil! Sen(x) = cos$x - π/2$, o sea que el seno es el coseno corrido π/2 unidades.

Propiedades trigonométricas y tangente

Las funciones trigonométricas tienen personalidades únicas. El seno es impar: sen$-x$ = -sen(x), mientras que el coseno es par: cos$-x$ = cos(x). Esto te ayuda muchísimo para simplificar expresiones.

La función tangente y = tan(x) = sen(x)/cos(x) es más rebelde. Tiene asíntotas verticales donde cos(x) = 0, o sea en x = ±π/2, ±3π/2, etc. Su período es π (se repite cada π unidades), no 2π como seno y coseno.

El dominio de la tangente excluye los múltiplos impares de π/2, donde la función se vuelve infinita. Su rango es todos los números reales porque puede tomar cualquier valor.

¡Cuidado con las asíntotas! La tangente "explota" en los múltiplos impares de π/2.

Cotangente y secante

La función cotangente y = cot(x) = cos(x)/sen(x) es la "hermana rebelde" de la tangente. Tiene asíntotas donde sen(x) = 0, es decir, en los múltiplos de π (0, π, 2π, 3π...). Su período también es π.

La cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente: cot(x) = 1/tan(x). También es una función impar, igual que la tangente. Su dominio excluye los múltiplos de π y su rango es todos los reales.

La función secante y = sec(x) = 1/cos(x) tiene las mismas asíntotas que la tangente $donde cos(x) = 0$. Su período es 2π, igual que el coseno. Lo interesante es que su rango excluye el intervalo (-1, 1).

¡Truco mental! Las funciones "co" (cotangente, cosecante) tienen asíntotas donde sus denominadores valen cero.

Cosecante y transformaciones

La función cosecante y = csc(x) = 1/sen(x) completa el grupo. Tiene asíntotas en los múltiplos de π $donde sen(x) = 0$ y su rango también excluye (-1, 1).

Las transformaciones trigonométricas son súper poderosas. En y = A·sen$ax + b$ + c, cada letra cambia algo específico: A cambia la amplitud, a modifica el período $nuevo período = 2π/a$, b produce un desplazamiento horizontal, y c genera un desplazamiento vertical.

Si a > 1, la función se comprime horizontalmente. Si 0 < a < 1, se estira. El desplazamiento horizontal es b/a unidades: hacia la izquierda si b > 0, hacia la derecha si b < 0.

¡Fórmula mágica! Para y = A·sen$ax + b$ + c: amplitud = |A|, período = 2π/a, fase = -b/a, desplazamiento vertical = c.

Funciones exponenciales

¡Terminamos con las funciones exponenciales y = aˣ! Estas funciones son increíbles porque modelan crecimiento y decrecimiento en la vida real: población, inversiones, desintegración radioactiva.

Si a > 1, la función es creciente: empieza cerca de cero, pasa por (0,1) y crece cada vez más rápido. Si 0 < a < 1, es decreciente: empieza muy arriba y se acerca a cero sin tocarlo nunca.

El dominio siempre es todos los reales, pero el rango es solo los números positivos (0, ∞). La gráfica nunca toca el eje x, que se convierte en una asíntota horizontal.

Para graficar y = 2·sen$½x - ½π$ - 1: período = 4π, amplitud = 2, desplazamiento horizontal = π unidades, desplazamiento vertical = -1 unidad, y rango = [-3, 1].

¡Aplicación real! Las funciones exponenciales aparecen en tu cuenta bancaria (interés compuesto) y en las redes sociales (crecimiento viral).