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Juan Andres Fierro
20/12/2025
Matemáticas
Cónicas
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20 de dic de 2025
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Juan Andres Fierro
@juanandresfierr
Este taller de matemáticas aborda conceptos clave de geometría analítica,... Mostrar más
¿Sabías que los faros de los autos y las antenas satelitales tienen forma de parábola? Estas curvas son reconocibles por su forma de U y tienen propiedades matemáticas específicas. Una parábola se define por una ecuación de segundo grado donde solo uno de los términos cuadráticos aparece .
El vértice de la parábola es su punto de inflexión, mientras que el foco es un punto especial desde donde todas las distancias a la curva son importantes. La directriz es una línea recta que, junto con el foco, determina la forma de la parábola. Por ejemplo, en la parábola y² - 16x = 0, el vértice está en el origen (0,0) y el foco en (4,0).
La orientación de una parábola depende de su ecuación. Si el término cuadrático está en y (como y²), la parábola se abre horizontalmente. Si está en x (como x²), se abre verticalmente.
💡 Truco para recordar: Si y² está solo, la parábola se abre horizontalmente (izquierda o derecha). Si x² está solo, se abre verticalmente (arriba o abajo). El signo del otro término indica la dirección exacta.
Cuando te enfrentas a un problema de parábolas, es útil identificar primero su forma estándar. Por ejemplo, para y² + 2y - 4x + 9 = 0, debes completar cuadrados para hallar el vértice y demás elementos.
Existen diferentes formas de plantear problemas con parábolas:
Para resolver estos ejercicios, puedes usar métodos algebraicos o geométricos. Por ejemplo, si tienes una parábola con vértice en (-4,3) y foco en (-1,3), significa que está abierta horizontalmente hacia la derecha y su eje focal es la recta y = 3.
Los problemas avanzados exploran lugares geométricos, donde se define una curva por condiciones de distancias. Por ejemplo, el ejercicio 20 pide hallar la ecuación de puntos cuya distancia a una recta excede en 2 unidades a su distancia a un punto fijo - esto generará una parábola.
🔍 Consejo práctico: Al dibujar una parábola, ubica primero el vértice y el foco, traza el eje focal, y luego marca algunos puntos adicionales para obtener una representación precisa.
La elipse es una curva cerrada que aparece en muchos lugares: desde órbitas planetarias hasta arcos arquitectónicos. A diferencia de la parábola, la elipse se caracteriza por tener dos focos y una propiedad especial: la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a sus dos focos es constante.
Una elipse se representa mediante la ecuación Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, donde A y B tienen el mismo signo (A·B > 0) pero generalmente son diferentes. La forma estándar para una elipse centrada en el origen es , donde a y b son los semiejes mayor y menor.
Cuando el centro no está en el origen, usamos ecuaciones como donde (h,k) es el centro de la elipse. Si a > b, el eje mayor está sobre el eje x; si b > a, está sobre el eje y.
🌟 Dato interesante: Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses, con el sol ubicado en uno de los focos. Por eso la distancia Tierra-Sol varía durante el año.
Para trabajar con elipses, necesitarás dominar la identificación de sus elementos clave: centro, semiejes, vértices, focos y excentricidad. Por ejemplo, en la elipse 4x² + 9y² - 24x + 36y + 36 = 0, primero debes completar cuadrados para llevarla a su forma estándar.
La excentricidad (e) es una medida de cuán "achatada" está la elipse, calculada como e = c/a donde c es la distancia del centro a un foco. Cuando e se acerca a 0, la elipse se parece más a un círculo; cuando se acerca a 1, la elipse es más alargada.
Los problemas típicos incluyen:
Las aplicaciones prácticas son fascinantes. Por ejemplo, el ejercicio 17 muestra cómo calcular las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol usando que la órbita terrestre es una elipse con excentricidad 0.017.
🚀 Aplicación real: Los arquitectos usan propiedades de elipses para diseñar "galerías de susurros", donde una persona susurrando en un foco puede ser escuchada claramente por alguien parado en el otro foco, mientras que las personas en medio no oyen nada.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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Juan Andres Fierro
@juanandresfierr
Este taller de matemáticas aborda conceptos clave de geometría analítica, enfocándose en parábolas y elipses. Estas figuras cónicas tienen aplicaciones importantes en física, ingeniería y astronomía, y son fundamentales para tu comprensión de ecuaciones de segundo grado.
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¿Sabías que los faros de los autos y las antenas satelitales tienen forma de parábola? Estas curvas son reconocibles por su forma de U y tienen propiedades matemáticas específicas. Una parábola se define por una ecuación de segundo grado donde solo uno de los términos cuadráticos aparece .
El vértice de la parábola es su punto de inflexión, mientras que el foco es un punto especial desde donde todas las distancias a la curva son importantes. La directriz es una línea recta que, junto con el foco, determina la forma de la parábola. Por ejemplo, en la parábola y² - 16x = 0, el vértice está en el origen (0,0) y el foco en (4,0).
La orientación de una parábola depende de su ecuación. Si el término cuadrático está en y (como y²), la parábola se abre horizontalmente. Si está en x (como x²), se abre verticalmente.
💡 Truco para recordar: Si y² está solo, la parábola se abre horizontalmente (izquierda o derecha). Si x² está solo, se abre verticalmente (arriba o abajo). El signo del otro término indica la dirección exacta.
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Cuando te enfrentas a un problema de parábolas, es útil identificar primero su forma estándar. Por ejemplo, para y² + 2y - 4x + 9 = 0, debes completar cuadrados para hallar el vértice y demás elementos.
Existen diferentes formas de plantear problemas con parábolas:
Para resolver estos ejercicios, puedes usar métodos algebraicos o geométricos. Por ejemplo, si tienes una parábola con vértice en (-4,3) y foco en (-1,3), significa que está abierta horizontalmente hacia la derecha y su eje focal es la recta y = 3.
Los problemas avanzados exploran lugares geométricos, donde se define una curva por condiciones de distancias. Por ejemplo, el ejercicio 20 pide hallar la ecuación de puntos cuya distancia a una recta excede en 2 unidades a su distancia a un punto fijo - esto generará una parábola.
🔍 Consejo práctico: Al dibujar una parábola, ubica primero el vértice y el foco, traza el eje focal, y luego marca algunos puntos adicionales para obtener una representación precisa.
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La elipse es una curva cerrada que aparece en muchos lugares: desde órbitas planetarias hasta arcos arquitectónicos. A diferencia de la parábola, la elipse se caracteriza por tener dos focos y una propiedad especial: la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a sus dos focos es constante.
Una elipse se representa mediante la ecuación Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, donde A y B tienen el mismo signo (A·B > 0) pero generalmente son diferentes. La forma estándar para una elipse centrada en el origen es , donde a y b son los semiejes mayor y menor.
Cuando el centro no está en el origen, usamos ecuaciones como donde (h,k) es el centro de la elipse. Si a > b, el eje mayor está sobre el eje x; si b > a, está sobre el eje y.
🌟 Dato interesante: Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses, con el sol ubicado en uno de los focos. Por eso la distancia Tierra-Sol varía durante el año.
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Para trabajar con elipses, necesitarás dominar la identificación de sus elementos clave: centro, semiejes, vértices, focos y excentricidad. Por ejemplo, en la elipse 4x² + 9y² - 24x + 36y + 36 = 0, primero debes completar cuadrados para llevarla a su forma estándar.
La excentricidad (e) es una medida de cuán "achatada" está la elipse, calculada como e = c/a donde c es la distancia del centro a un foco. Cuando e se acerca a 0, la elipse se parece más a un círculo; cuando se acerca a 1, la elipse es más alargada.
Los problemas típicos incluyen:
Las aplicaciones prácticas son fascinantes. Por ejemplo, el ejercicio 17 muestra cómo calcular las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol usando que la órbita terrestre es una elipse con excentricidad 0.017.
🚀 Aplicación real: Los arquitectos usan propiedades de elipses para diseñar "galerías de susurros", donde una persona susurrando en un foco puede ser escuchada claramente por alguien parado en el otro foco, mientras que las personas en medio no oyen nada.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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