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nicole tovar
30/11/2025
Matemáticas
Bisectriz
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30 de nov de 2025
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nicole tovar
@nicoletovar_7pcofct5
¿Te has preguntado cómo los arquitectos se aseguran de que... Mostrar más
¿Sabías que demostrar la congruencia de triángulos es como resolver un rompecabezas geométrico? En estos primeros cuatro problemas vas a usar las propiedades de bisectrices y puntos medios para probar que triángulos aparentemente diferentes son en realidad idénticos.
El primer ejercicio te muestra cómo las diagonales que se bisecan mutuamente crean triángulos congruentes. Cuando AE y BD se cortan en su punto medio, automáticamente tienes dos lados iguales y ángulos opuestos por el vértice iguales. Con el criterio LAL , puedes demostrar que △ABC ≅ △EFC.
Para los cálculos, recuerda que en triángulos congruentes, los lados correspondientes son iguales. Si tienes expresiones como x-15 = 7 o 2z-5 = 15, simplemente resuelves las ecuaciones lineales que ya dominas. Los ejercicios 2 y 3 siguen patrones similares usando bisectrices de ángulos y ángulos rectos.
Tip clave: Cuando veas bisectrices o puntos medios en un problema, inmediatamente piensa en elementos iguales que te ayudarán a aplicar los criterios de congruencia.
Estos ejercicios te llevan al siguiente nivel usando medianas, segmentos trisectados y triángulos isósceles. La mediana en el ejercicio 5 es especialmente importante porque conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto, creando dos triángulos que comparten elementos clave.
El ejercicio 6 introduce el concepto de trisección (dividir en tres partes iguales). Cuando AD está trisectada y tienes segmentos perpendiculares como BE⊥AD y CF⊥AD, estás trabajando con múltiples triángulos rectángulos que comparten características. Usa el criterio ALA aquí.
El problema del triángulo isósceles (ejercicio 7) es fundamental porque demuestra un teorema clásico: si dos lados son iguales, sus ángulos opuestos también lo son. La bisectriz BD no solo divide el ángulo, sino que también actúa como altura y mediana simultáneamente.
El último ejercicio de esta sección combina proporciones con congruencia. Cuando BE=EC y AE=ED, tienes puntos medios que crean simetría en la figura.
Dato curioso: En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo entre los lados iguales siempre es perpendicular a la base y la divide por la mitad.
¡Llegaste a los problemas más desafiantes! El triángulo equilátero del ejercicio 9 es una joya geométrica donde todos los lados y ángulos son iguales (60° cada uno). Cuando AR=BR dentro de este triángulo, creates otro triángulo equilátero △PQR, lo cual es una propiedad fascinante de estas figuras perfectas.
Para calcular el ángulo w, recuerda que en triángulos equiláteros, cualquier punto interior mantiene relaciones angulares específicas. Los valores x=7, z=7 y w=60° reflejan la simetría perfecta de estas figuras.
El último ejercicio combina segmentos paralelos y perpendiculares simultáneamente. Cuando AB∥EF, EF⊥BC, y BC∥DE, tienes una configuración que crea múltiples ángulos rectos y correspondientes. Esta combinación de paralelismo y perpendicularidad es común en problemas de construcción y diseño.
Los valores x=5, y=12 y z=90° te muestran cómo las propiedades geométricas se traducen en números concretos. El ángulo de 90° confirma la perpendicularidad que observas en la figura.
Aplicación real: Los principios de estos ejercicios se usan en arquitectura para diseñar estructuras simétricas y en ingeniería para calcular fuerzas en armaduras triangulares.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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nicole tovar
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¿Te has preguntado cómo los arquitectos se aseguran de que las estructuras sean perfectamente simétricas? La respuesta está en la congruencia de triángulos. Estos ejercicios te enseñarán a demostrar cuándo dos triángulos son exactamente iguales y a calcular medidas... Mostrar más
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¿Sabías que demostrar la congruencia de triángulos es como resolver un rompecabezas geométrico? En estos primeros cuatro problemas vas a usar las propiedades de bisectrices y puntos medios para probar que triángulos aparentemente diferentes son en realidad idénticos.
El primer ejercicio te muestra cómo las diagonales que se bisecan mutuamente crean triángulos congruentes. Cuando AE y BD se cortan en su punto medio, automáticamente tienes dos lados iguales y ángulos opuestos por el vértice iguales. Con el criterio LAL , puedes demostrar que △ABC ≅ △EFC.
Para los cálculos, recuerda que en triángulos congruentes, los lados correspondientes son iguales. Si tienes expresiones como x-15 = 7 o 2z-5 = 15, simplemente resuelves las ecuaciones lineales que ya dominas. Los ejercicios 2 y 3 siguen patrones similares usando bisectrices de ángulos y ángulos rectos.
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Estos ejercicios te llevan al siguiente nivel usando medianas, segmentos trisectados y triángulos isósceles. La mediana en el ejercicio 5 es especialmente importante porque conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto, creando dos triángulos que comparten elementos clave.
El ejercicio 6 introduce el concepto de trisección (dividir en tres partes iguales). Cuando AD está trisectada y tienes segmentos perpendiculares como BE⊥AD y CF⊥AD, estás trabajando con múltiples triángulos rectángulos que comparten características. Usa el criterio ALA aquí.
El problema del triángulo isósceles (ejercicio 7) es fundamental porque demuestra un teorema clásico: si dos lados son iguales, sus ángulos opuestos también lo son. La bisectriz BD no solo divide el ángulo, sino que también actúa como altura y mediana simultáneamente.
El último ejercicio de esta sección combina proporciones con congruencia. Cuando BE=EC y AE=ED, tienes puntos medios que crean simetría en la figura.
Dato curioso: En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo entre los lados iguales siempre es perpendicular a la base y la divide por la mitad.
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¡Llegaste a los problemas más desafiantes! El triángulo equilátero del ejercicio 9 es una joya geométrica donde todos los lados y ángulos son iguales (60° cada uno). Cuando AR=BR dentro de este triángulo, creates otro triángulo equilátero △PQR, lo cual es una propiedad fascinante de estas figuras perfectas.
Para calcular el ángulo w, recuerda que en triángulos equiláteros, cualquier punto interior mantiene relaciones angulares específicas. Los valores x=7, z=7 y w=60° reflejan la simetría perfecta de estas figuras.
El último ejercicio combina segmentos paralelos y perpendiculares simultáneamente. Cuando AB∥EF, EF⊥BC, y BC∥DE, tienes una configuración que crea múltiples ángulos rectos y correspondientes. Esta combinación de paralelismo y perpendicularidad es común en problemas de construcción y diseño.
Los valores x=5, y=12 y z=90° te muestran cómo las propiedades geométricas se traducen en números concretos. El ángulo de 90° confirma la perpendicularidad que observas en la figura.
Aplicación real: Los principios de estos ejercicios se usan en arquitectura para diseñar estructuras simétricas y en ingeniería para calcular fuerzas en armaduras triangulares.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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