Cantidades Escalares y Vectoriales

Las cantidades físicas pueden clasificarse en dos tipos fundamentales según cómo se representan. Las cantidades escalares como volumen, masa y temperatura se representan solo con números, sin dirección.

Por otro lado, las cantidades vectoriales como velocidad, desplazamiento, fuerza y aceleración necesitan tanto magnitud como dirección y sentido para estar completamente definidas. Estos vectores se representan gráficamente como flechas en un sistema de coordenadas.

Para medir la magnitud de un vector, debemos situarlo en un sistema de coordenadas. La fórmula para calcular la magnitud de un vector es:

$$|\vec{D}| = \sqrt{$X_f-X_i$^2+$Y_f-Y_i$^2+$Z_f-Z_i$^2}$$

💡 ¡Recuerda! La diferencia principal entre escalares y vectoriales es que los vectores tienen dirección, mientras que los escalares solo magnitud.

Proyección de un Vector y Vectores Unitarios

La proyección de un vector se realiza utilizando funciones trigonométricas. Las componentes de un vector se determinan por:

• Componente en x: $a = |\vec{A}|\cos\theta$
• Componente en y: $o = |\vec{A}|\sin\theta$

En exámenes, recuerda especificar siempre la dirección con respecto al sistema de referencia. También puedes utilizar estas relaciones:

• $\cos\theta = \frac{a}{|\vec{A}|}$
• $\sin\theta = \frac{o}{|\vec{A}|}$
• $\tan\theta = \frac{o}{a}$

Los vectores unitarios tienen magnitud igual a 1 y se utilizan para indicar dirección. Cualquier vector puede expresarse como:

$$\vec{A} = |\vec{A}|\hat{A}$$

En un sistema cartesiano, cualquier vector puede descomponerse en:

$$\vec{A} = A_x\hat{x} + A_y\hat{y}$$

🔑 Concepto clave: Si cambias la magnitud de un vector (multiplicándolo por un escalar), su dirección se mantiene, pero si lo multiplicas por -1, inviertes su sentido.

Productos Escalar y Vectorial

El producto escalar (o producto punto) entre dos vectores resulta en un valor escalar:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$$

Algebraicamente también puede calcularse como:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$$

El producto vectorial (o producto cruz) entre dos vectores resulta en otro vector perpendicular a los dos originales:

$$\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\hat{n}$$

Donde $\hat{n}$ es un vector unitario perpendicular al plano formado por $\vec{A}$ y $\vec{B}$.

El producto vectorial también puede calcularse usando una matriz determinante:

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ A_x & A_y & A_z \ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

🔄 Truco para recordar: Para el producto vectorial puedes usar la regla de la mano derecha: si cierras los dedos desde el primer vector hacia el segundo, tu pulgar apuntará en la dirección del vector resultante.

Cinemática: Describiendo el Movimiento

La cinemática es la rama de la física que describe el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo generan. En cinemática, los cuerpos en movimiento se consideran como partículas.

Para describir el movimiento de una partícula, utilizamos su vector posición:

$$\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}$$

Este vector depende del tiempo y utiliza funciones paramétricas para cada coordenada. La magnitud del vector posición se calcula como:

$$|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

El vector desplazamiento describe el cambio de posición de un objeto:

$$\Delta\vec{r} = \vec{r}(t) - \vec{r}$t=0$$$

💭 Piénsalo así: Si te mueves desde un punto a otro, tu desplazamiento es un vector que va directamente desde tu posición inicial hasta la final, independientemente del camino que hayas seguido.

Velocidad y Aceleración en el Movimiento

Cuando un objeto se desplaza, podemos calcular su velocidad promedio dividiendo el desplazamiento entre el tiempo transcurrido:

$$\vec{V}_{promedio} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}\hat{i} + \frac{\Delta \vec{y}}{\Delta t}\hat{j} + \frac{\Delta \vec{z}}{\Delta t}\hat{k}$$

Veamos un ejemplo: Si una partícula se mueve desde (2,6,7) hasta (8,10,20) en 6 segundos, su desplazamiento será:

$$\Delta \vec{r} = (8-2)\hat{i} + (10-6)\hat{j} + (20-7)\hat{k} = 6\hat{i} + 4\hat{j} + 13\hat{k} \text{ $cm$}$$

Y su velocidad promedio:

$$\vec{V}_{promedio} = \frac{6}{6}\hat{i} + \frac{4}{6}\hat{j} + \frac{13}{6}\hat{k} = 1\hat{i} + 0.67\hat{j} + 2.17\hat{k} \text{ $cm/s$}$$

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

$$\vec{V} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$$

🚀 Dato importante: La magnitud de la velocidad (rapidez) se calcula como $|\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}$ y se mide en metros por segundo $m/s$.

Aceleración y Trayectoria

La aceleración promedio de una partícula se calcula como la variación de velocidad respecto al tiempo:

$$\vec{a}_{promedio} = \frac{\Delta \vec{V}}{\Delta t} = \frac{\vec{V}_f - \vec{V}_i}{\Delta t}$$

La aceleración instantánea es:

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

Cuando analizamos el movimiento de una partícula, también es importante conocer su trayectoria. La distancia real recorrida a lo largo de una trayectoria se puede calcular mediante:

$$S = \int_{t_a}^{t_b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} , dt$$

Por ejemplo, si tenemos un vector posición:

$$\vec{r}(t) = $5+3t$\hat{i} + $-5+5t^2$\hat{j}$$

Para t=0, la posición es $\vec{r}(0) = 5\hat{i} - 5\hat{j}$ $cm$ Para t=5, la posición es $\vec{r}(5) = 20\hat{i} + 120\hat{j}$ $cm$

El desplazamiento es $\Delta\vec{r} = 15\hat{i} + 125\hat{j}$ $cm$ con magnitud $|\Delta\vec{r}| = 125,89$ $cm$.

⚡ Ojo con esto: La aceleración de un cuerpo puede ser constante en magnitud pero cambiar en dirección (como en el movimiento circular uniforme) o puede variar tanto en magnitud como en dirección.

Velocidad y Aceleración Instantáneas

Al analizar el movimiento, necesitamos las expresiones de velocidad y aceleración instantáneas. Para el ejemplo anterior:

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\hat{i} + 10t\hat{j} \text{ $cm/s$}$$

Y la rapidez instantánea:

$$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (10t)^2} \text{ $cm/s$}$$

Para calcular la aceleración instantánea:

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 0\hat{i} + 10\hat{j} \text{ $cm/s²$}$$

Con magnitud $|\vec{a}| = 10 \text{ [cm/s²]}$

La trayectoria puede determinarse eliminando el parámetro t entre las ecuaciones paramétricas. Si:

$$x = 5 + 3t \implies t = \frac{x - 5}{3}$$

Sustituyendo en la ecuación para y:

$$y = -5 + 5t^2 = -5 + 5$\frac{x - 5}{3}$^2$$

Esto resulta en una parábola.

🔍 Observación importante: La velocidad siempre es tangente a la trayectoria, mientras que la aceleración puede tener componentes tangenciales y normales a la trayectoria.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

En el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), un objeto se mueve en línea recta con velocidad constante. Sus características principales son:

• La velocidad es constante: $\vec{v} = \vec{v}_0$
• La aceleración es cero: $\vec{a} = 0$
• El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo

La ecuación fundamental del MRU es:

$$x = x_0 + v_x t$$

Donde:

• $x_0$ es la posición inicial
• $v_x$ es la velocidad constante
• $t$ es el tiempo transcurrido

Para movimiento en tres dimensiones, las ecuaciones son:

• $x = x_0 + v_x t$
• $y = y_0 + v_y t$
• $z = z_0 + v_z t$

O en forma vectorial:

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v} t$$

📈 Visualización: En un gráfico posición vs. tiempo, el MRU aparece como una línea recta con pendiente igual a la velocidad. En un gráfico velocidad vs. tiempo, aparece como una línea horizontal.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

En el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), la aceleración es constante. Este tipo de movimiento se describe mediante estas ecuaciones:

• La aceleración es constante: $\vec{a} = \vec{a}_0$
• La velocidad varía linealmente con el tiempo: $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t$
• La posición varía cuadráticamente con el tiempo: $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$

La velocidad media durante el movimiento se calcula como:

$$\vec{v}_{prom} = \frac{\vec{v}_0 + \vec{v}}{2}$$

Y el desplazamiento puede expresarse como:

$$\Delta \vec{x} = \vec{v}_{prom}t = \frac{\vec{v}_0 + \vec{v}}{2}t$$

Eliminando el tiempo entre las ecuaciones, obtenemos otra relación útil:

$$\vec{v}^2 = \vec{v}_0^2 + 2\vec{a}\Delta \vec{x}$$

🚗 Aplicación práctica: Estas ecuaciones describen situaciones comunes como la caída libre, el lanzamiento vertical y el frenado de un vehículo.

Caída Libre y Movimiento Parabólico

La caída libre es un caso especial del MRUA donde la aceleración es la gravedad $\vec{g} = -9.8 \hat{j} \text{ [m/s²]}$.

Las ecuaciones para caída libre son:

• $y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$
• $v_y = v_{0y} - gt$
• $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\Delta y$

En un problema donde un melón cae desde 58.3 metros de altura, mientras una flecha se dispara hacia arriba con velocidad inicial de 25.1 m/s, el tiempo hasta la colisión se calcula igualando las alturas:

$$h - \frac{1}{2}gt^2 = 25.1t - \frac{1}{2}gt^2$$

Esto simplifica a $h = 25.1t$, por lo que $t = \frac{h}{25.1} = \frac{58.3}{25.1} = 2.32 \text{ [s]}$

Para el movimiento en dos dimensiones como el movimiento parabólico, analizamos independientemente cada componente:

• En x: MRU con $x = x_0 + v_{0x}t$
• En y: Caída libre con $y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$

🎯 Consejo para problemas: Separa siempre el movimiento en sus componentes x e y, y resuelve cada componente por separado.