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242
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20 de dic de 2025
•
Maria Cristina Marín
@mariacris_xvpct
¿Alguna vez te has preguntado cómo funcionan las operaciones con... Mostrar más
Las operaciones matriciales son más simples de lo que parecen cuando las descompones paso a paso. En los primeros ejercicios vas a practicar suma, resta y multiplicación por escalares.
Para resolver algo como -2A + 3B, solo tienes que multiplicar cada elemento de A por -2, cada elemento de B por 3, y luego sumar término a término. Es como trabajar con números normales, pero organizados en filas y columnas.
La multiplicación de matrices requiere más cuidado. Recorda que el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Por ejemplo, para multiplicar una matriz 1×2 por una 2×2 y luego por una 2×1, el resultado final será un escalar.
Clave: Siempre verificá las dimensiones antes de intentar multiplicar matrices. Te va a ahorrar tiempo y errores.
Vas a notar que las propiedades de la transposición son muy útiles para simplificar cálculos complejos. La transposición básicamente convierte filas en columnas y viceversa.
Las reglas fundamentales son: ' = A' + B' y (kA)' = kA'. Estas propiedades te permiten trabajar con matrices transpuestas sin tener que calcular todo desde cero.
También es clave recordar que (A·B)' = B'·A'. Fijate que el orden se invierte cuando transponés un producto de matrices. Esto no es casualidad: tiene que ver con cómo funcionan las dimensiones matriciales.
Consejo: Practicá estas propiedades con matrices pequeñas (2×2) hasta que te salgan automáticamente.
Ahora llegamos a algo más interesante: resolver sistemas usando matrices. Cuando tenés algo como 2X + Y = A y X - Y = B, podés tratarlo como un sistema de ecuaciones normal.
La estrategia es simple: sumá o restá las ecuaciones para eliminar una variable matricial. En el ejercicio 10, al sumar las dos ecuaciones eliminás Y y obtenés 3X, que es fácil de resolver.
Los ejercicios con potencias de matrices pueden parecer complicados, pero muchas veces hay patrones. Si encontrás que A³ = I (la matriz identidad), entonces A⁶ = I, A⁹ = I, y así sucesivamente.
Truco: Buscá patrones en las primeras potencias. Te va a sorprender cuántas veces se repiten.
Las ecuaciones cuadráticas con matrices funcionan similar a las ecuaciones normales, pero tenés que tener cuidado con el orden de las operaciones. En el ejercicio 12, resolvés una ecuación de la forma X² - (5/2)X + I = 0.
Para resolver X² - (5/2)X + I = 0, sustituís los valores conocidos y igualás cada elemento a cero. Esto te da ecuaciones cuadráticas normales que podés resolver con la fórmula habitual.
Los sistemas matriciales complejos a veces se pueden resolver multiplicando por la izquierda o derecha por matrices específicas. La clave está en identificar qué operaciones te van a simplificar el problema.
Importante: En matrices, el orden importa. A·B no es necesariamente igual a B·A.
Calcular potencias altas de matrices puede ser muy tedioso, pero hay trucos geniales. Si descubrís que A³ = I, entonces A¹²⁸ se puede calcular fácilmente usando que 128 = 42×3 + 2.
Para matrices con patrones específicos, como las matrices triangulares superiores, las potencias suelen seguir fórmulas predecibles. En el ejercicio 16, Aⁿ tiene una forma muy clara que podés demostrar por inducción.
Las relaciones recursivas como A² = 2A - I son oro puro. Te permiten calcular A⁴, A⁸, etc., sin hacer multiplicaciones gigantescas. Solo tenés que aplicar la relación repetidamente.
Estrategia: Antes de calcular potencias altas, buscá si existe alguna relación simple entre las primeras potencias.
Las matrices nilpotentes (donde alguna potencia da cero) aparecen más seguido de lo que pensás. En el ejercicio 17, A³ = 0, y esto te permite probar que es la inversa de .
Este tipo de resultado es súper útil porque te da una fórmula para la inversa sin tener que hacer los cálculos tradicionales. Solo tenés que verificar que el producto dé la matriz identidad.
Los sistemas con matrices inversas se resuelven mucho más fácil cuando conocés la inversa. Si tenés XA = B, entonces X = BA⁻¹. Es como dividir, pero con matrices.
Dato clave: Verificá siempre tu resultado multiplicando la matriz por su supuesta inversa.
Las matrices son herramientas poderosas para problemas de la vida real. En el ejercicio 21, una fábrica de muebles usa matrices para organizar la producción por tipo y modelo.
Para calcular la producción anual, solo multiplicás la matriz mensual por 12. Este tipo de aplicación muestra por qué las operaciones matriciales son tan útiles en economía y administración.
Los problemas de construcción (ejercicio 22) muestran cómo las matrices pueden representar relaciones complejas entre diferentes elementos. Una matriz describe ventanas por vivienda, otra describe materiales por ventana, y el producto te da materiales por vivienda.
Aplicación real: Las matrices son fundamentales en programación, economía, ingeniería y muchas otras áreas.
Los sistemas de ecuaciones matriciales complejos requieren combinar varias técnicas. En el ejercicio 24, buscás matrices con una forma específica que satisfagan una ecuación cuadrática.
Este tipo de problema te enseña a trabajar elemento por elemento, convirtiendo una ecuación matricial en varias ecuaciones escalares. Es una técnica muy poderosa para casos específicos.
Los problemas con relaciones cíclicas (ejercicio 25) donde A³ + I = 0 te permiten calcular potencias muy altas usando la periodicidad. Es como encontrar el patrón en una secuencia numérica.
Técnica avanzada: Convertí problemas matriciales complejos en sistemas de ecuaciones más simples cuando sea posible.
Es fundamental entender por qué ciertas propiedades no se cumplen con matrices. La propiedad = A² - B² no funciona porque AB ≠ BA en general.
Las restricciones dimensionales determinan qué operaciones son posibles. Para que A·B tenga una sola fila, B debe tener dimensión 1×n. Estas limitaciones no son obstáculos, sino reglas que te ayudan a estructurar los problemas.
Las matrices diagonales tienen propiedades especiales: el producto de dos matrices diagonales siempre es diagonal. Esta es una de las razones por las cuales estas matrices son tan importantes en matemáticas avanzadas.
Reflexión final: Entender las limitaciones de las matrices es tan importante como conocer sus propiedades.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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Maria Cristina Marín
@mariacris_xvpct
¿Alguna vez te has preguntado cómo funcionan las operaciones con matrices más allá de lo básico? Este material te va a mostrar ejercicios prácticos que te ayudarán a dominar las matrices de una vez por todas. No es solo teoría... Mostrar más
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Las operaciones matriciales son más simples de lo que parecen cuando las descompones paso a paso. En los primeros ejercicios vas a practicar suma, resta y multiplicación por escalares.
Para resolver algo como -2A + 3B, solo tienes que multiplicar cada elemento de A por -2, cada elemento de B por 3, y luego sumar término a término. Es como trabajar con números normales, pero organizados en filas y columnas.
La multiplicación de matrices requiere más cuidado. Recorda que el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Por ejemplo, para multiplicar una matriz 1×2 por una 2×2 y luego por una 2×1, el resultado final será un escalar.
Clave: Siempre verificá las dimensiones antes de intentar multiplicar matrices. Te va a ahorrar tiempo y errores.
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Vas a notar que las propiedades de la transposición son muy útiles para simplificar cálculos complejos. La transposición básicamente convierte filas en columnas y viceversa.
Las reglas fundamentales son: ' = A' + B' y (kA)' = kA'. Estas propiedades te permiten trabajar con matrices transpuestas sin tener que calcular todo desde cero.
También es clave recordar que (A·B)' = B'·A'. Fijate que el orden se invierte cuando transponés un producto de matrices. Esto no es casualidad: tiene que ver con cómo funcionan las dimensiones matriciales.
Consejo: Practicá estas propiedades con matrices pequeñas (2×2) hasta que te salgan automáticamente.
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Ahora llegamos a algo más interesante: resolver sistemas usando matrices. Cuando tenés algo como 2X + Y = A y X - Y = B, podés tratarlo como un sistema de ecuaciones normal.
La estrategia es simple: sumá o restá las ecuaciones para eliminar una variable matricial. En el ejercicio 10, al sumar las dos ecuaciones eliminás Y y obtenés 3X, que es fácil de resolver.
Los ejercicios con potencias de matrices pueden parecer complicados, pero muchas veces hay patrones. Si encontrás que A³ = I (la matriz identidad), entonces A⁶ = I, A⁹ = I, y así sucesivamente.
Truco: Buscá patrones en las primeras potencias. Te va a sorprender cuántas veces se repiten.
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Las ecuaciones cuadráticas con matrices funcionan similar a las ecuaciones normales, pero tenés que tener cuidado con el orden de las operaciones. En el ejercicio 12, resolvés una ecuación de la forma X² - (5/2)X + I = 0.
Para resolver X² - (5/2)X + I = 0, sustituís los valores conocidos y igualás cada elemento a cero. Esto te da ecuaciones cuadráticas normales que podés resolver con la fórmula habitual.
Los sistemas matriciales complejos a veces se pueden resolver multiplicando por la izquierda o derecha por matrices específicas. La clave está en identificar qué operaciones te van a simplificar el problema.
Importante: En matrices, el orden importa. A·B no es necesariamente igual a B·A.
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Calcular potencias altas de matrices puede ser muy tedioso, pero hay trucos geniales. Si descubrís que A³ = I, entonces A¹²⁸ se puede calcular fácilmente usando que 128 = 42×3 + 2.
Para matrices con patrones específicos, como las matrices triangulares superiores, las potencias suelen seguir fórmulas predecibles. En el ejercicio 16, Aⁿ tiene una forma muy clara que podés demostrar por inducción.
Las relaciones recursivas como A² = 2A - I son oro puro. Te permiten calcular A⁴, A⁸, etc., sin hacer multiplicaciones gigantescas. Solo tenés que aplicar la relación repetidamente.
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Las matrices nilpotentes (donde alguna potencia da cero) aparecen más seguido de lo que pensás. En el ejercicio 17, A³ = 0, y esto te permite probar que es la inversa de .
Este tipo de resultado es súper útil porque te da una fórmula para la inversa sin tener que hacer los cálculos tradicionales. Solo tenés que verificar que el producto dé la matriz identidad.
Los sistemas con matrices inversas se resuelven mucho más fácil cuando conocés la inversa. Si tenés XA = B, entonces X = BA⁻¹. Es como dividir, pero con matrices.
Dato clave: Verificá siempre tu resultado multiplicando la matriz por su supuesta inversa.
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Para calcular la producción anual, solo multiplicás la matriz mensual por 12. Este tipo de aplicación muestra por qué las operaciones matriciales son tan útiles en economía y administración.
Los problemas de construcción (ejercicio 22) muestran cómo las matrices pueden representar relaciones complejas entre diferentes elementos. Una matriz describe ventanas por vivienda, otra describe materiales por ventana, y el producto te da materiales por vivienda.
Aplicación real: Las matrices son fundamentales en programación, economía, ingeniería y muchas otras áreas.
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Los sistemas de ecuaciones matriciales complejos requieren combinar varias técnicas. En el ejercicio 24, buscás matrices con una forma específica que satisfagan una ecuación cuadrática.
Este tipo de problema te enseña a trabajar elemento por elemento, convirtiendo una ecuación matricial en varias ecuaciones escalares. Es una técnica muy poderosa para casos específicos.
Los problemas con relaciones cíclicas (ejercicio 25) donde A³ + I = 0 te permiten calcular potencias muy altas usando la periodicidad. Es como encontrar el patrón en una secuencia numérica.
Técnica avanzada: Convertí problemas matriciales complejos en sistemas de ecuaciones más simples cuando sea posible.
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Es fundamental entender por qué ciertas propiedades no se cumplen con matrices. La propiedad = A² - B² no funciona porque AB ≠ BA en general.
Las restricciones dimensionales determinan qué operaciones son posibles. Para que A·B tenga una sola fila, B debe tener dimensión 1×n. Estas limitaciones no son obstáculos, sino reglas que te ayudan a estructurar los problemas.
Las matrices diagonales tienen propiedades especiales: el producto de dos matrices diagonales siempre es diagonal. Esta es una de las razones por las cuales estas matrices son tan importantes en matemáticas avanzadas.
Reflexión final: Entender las limitaciones de las matrices es tan importante como conocer sus propiedades.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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