Asignaturas

Matemáticas

8 de dic de 2025

6 páginas

Entendiendo el Área Bajo la Curva: Ejercicios y Práctica

Cristian @cristian_55clg

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El cálculo integral es una herramienta poderosa que nos permite encontrar áreas bajo curvas. En esta guía, aprenderás... Mostrar más

Guía de Cálculo Integral
Fecha: Shil 14 del 2020. al 17 de Abril del 2020
Tema: Area bajo una cura
(e)
Supongamos que la función y = f(x) es

Área bajo una curva

Cuando trabajas con una función continua f(x) en un intervalo $a,b$ , a veces la gráfica cruza el eje x. En estos casos, necesitas considerar tanto las áreas positivas como negativas para encontrar el área total.

Si f(x) es negativa en $a,c$ y positiva en $c,b$ , el área total es la suma de las áreas absolutas en ambas regiones. Para calcularla, usamos el valor absoluto de la función

|f(x)| = { -f(x), cuando f(x)<0 f(x), cuando f(x)≥0

Matemáticamente, esto se expresa como ∫ₐᵇ|f(x)|dx = ∫ₐᶜ $-f(x)$ dx + ∫ᶜᵇf(x)dx

💡 Recuerda El área siempre es un valor positivo, por eso usamos el valor absoluto cuando integramos funciones que cruzan el eje x.

Ejemplo Área de una parábola

Vamos a calcular el área de f(x) = x²+5x-24 en el intervalo $-8,5$ . Para esto necesitamos

Identificar dónde la función cruza el eje x (las raíces)
Determinar los intervalos donde la función es positiva o negativa

Encontrando las raíces x²+5x-24 = 0 $x+8$ $x-3$ = 0 x = -8 o x = 3

El vértice de esta parábola está en (-2.5, -30.25), calculado con la fórmula x = -b/(2a).

Con estos datos podemos visualizar la parábola y determinar que es negativa entre x = -8 y x = 3, y positiva entre x = 3 y x = 5.

🔍 Consejo práctico Siempre identifica primero dónde la función cambia de signo antes de plantear la integral, así sabrás exactamente qué intervalos considerar.

Resolución del ejemplo

Para hallar el área total bajo la curva f(x) = x²+5x-24 en $-8,5$ , dividimos el cálculo en dos regiones

De x = -8 a x = 3 (donde f(x) < 0) ∫₍₋₈₎³ - $x²+5x-24$ dx
De x = 3 a x = 5 (donde f(x) > 0) ∫₃⁵ $x²+5x-24$ dx

Calculamos A = ∫₍₋₈₎³ - $x²+5x-24$ dx + ∫₃⁵ $x²+5x-24$ dx

Esto implica resolver A = $-x³/3 - 5x²/2 + 24x$ ₍₋₈₎³ + $x³/3 + 5x²/2 - 24x$ ₃⁵

Sustituyendo los límites y realizando las operaciones, obtenemos que el área total es 489 unidades cuadradas.

💪 Puedes hacerlo Aunque los cálculos parezcan extensos, si sigues paso a paso la sustitución y operas con cuidado, llegarás al resultado correcto.

Otro ejemplo Función lineal

Ahora calculemos el área de f(x) = -x + 4 en el intervalo $0,6$ .

Esta es una línea recta con pendiente negativa que corta al eje y en y = 4. Para encontrar dónde cruza el eje x, igualamos a cero -x + 4 = 0 x = 4

Por tanto, la función es positiva en $0,4$ y negativa en $4,6$ .

El área total será Aₜ = ∫₀⁴ $-x+4$ dx + ∫₄⁶ - $-x+4$ dx

Resolviendo Aₜ = $-x²/2 + 4x$ ₀⁴ + $x²/2 - 4x$ ₄⁶ Aₜ = $-8 + 16$ - $0 + 0$ + $18 - 24$ - $-8 + 16$ Aₜ = 10 unidades cuadradas

🔑 Punto clave En funciones lineales, el área bajo la curva equivale a calcular áreas de trapecios o triángulos, lo que a veces ofrece un atajo al cálculo.

Ejemplo con función cúbica

Para la función f(x) = x³-3x²-x+3 en $-2,2$ , comenzamos hallando sus raíces

x³-3x²-x+3 = 0 $x-3$ $x²-1$ = 0 x = 3, x = 1, x = -1

Analizando el comportamiento de la función, determinamos que

Es positiva en $-2,-1$
Negativa en $-1,1$
Positiva en $1,2$

El área total será la suma de tres integrales Aₜ = ∫₍₋₂₎^(-1) $x³-3x²-x+3$ dx + ∫₍₋₁₎^1 - $x³-3x²-x+3$ dx + ∫₁² $x³-3x²-x+3$ dx

Tras resolver las integrales y sustituir los límites, obtenemos un área total de 9 unidades cuadradas.

⚠️ Atención Las funciones cúbicas suelen tener múltiples cruces con el eje x, así que divide cuidadosamente los intervalos según el signo de la función.

Ejercicios propuestos

Para practicar el cálculo de áreas bajo curvas, resuelve los siguientes ejercicios

f(x) = 3x²+4x-7 en $-3, 1$
f(x) = -4x²+6x-2 en $-1, 2$
f(x) = x-4 en $-5,4$
f(x) = -2x+6 en $0,7$
f(x) = 12x-31 en $-3,4$
f(x) = x³+2x²-x-2 en $-2, 1$
f(x) = x³-5x²-2x+24 en $2,4$
f(x) = -x²+2x-10 en $2,5$

🏆 Desafío personal Intenta resolver estos ejercicios siguiendo los mismos pasos que vimos en los ejemplos. Recuerda identificar primero dónde la función cambia de signo para dividir correctamente las integrales.

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El cálculo integral es una herramienta poderosa que nos permite encontrar áreas bajo curvas. En esta guía, aprenderás a calcular áreas totales cuando las funciones cambian de signo, utilizando el valor absoluto para manejar regiones por encima y por debajo... Mostrar más

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Área bajo una curva

Si f(x) es negativa en $a,c$ y positiva en $c,b$ , el área total es la suma de las áreas absolutas en ambas regiones. Para calcularla, usamos el valor absoluto de la función:

|f(x)| = { -f(x), cuando f(x)<0 f(x), cuando f(x)≥0

Matemáticamente, esto se expresa como: ∫ₐᵇ|f(x)|dx = ∫ₐᶜ $-f(x)$ dx + ∫ᶜᵇf(x)dx

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Ejemplo: Área de una parábola

Vamos a calcular el área de f(x) = x²+5x-24 en el intervalo $-8,5$ . Para esto necesitamos:

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Encontrando las raíces: x²+5x-24 = 0 $x+8$ $x-3$ = 0 x = -8 o x = 3

El vértice de esta parábola está en (-2.5, -30.25), calculado con la fórmula x = -b/(2a).

Con estos datos podemos visualizar la parábola y determinar que es negativa entre x = -8 y x = 3, y positiva entre x = 3 y x = 5.

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Resolución del ejemplo

Para hallar el área total bajo la curva f(x) = x²+5x-24 en $-8,5$ , dividimos el cálculo en dos regiones:

De x = -8 a x = 3 (donde f(x) < 0): ∫₍₋₈₎³ - $x²+5x-24$ dx
De x = 3 a x = 5 (donde f(x) > 0): ∫₃⁵ $x²+5x-24$ dx

Calculamos: A = ∫₍₋₈₎³ - $x²+5x-24$ dx + ∫₃⁵ $x²+5x-24$ dx

Esto implica resolver: A = $-x³/3 - 5x²/2 + 24x$ ₍₋₈₎³ + $x³/3 + 5x²/2 - 24x$ ₃⁵

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Ahora calculemos el área de f(x) = -x + 4 en el intervalo $0,6$ .

Esta es una línea recta con pendiente negativa que corta al eje y en y = 4. Para encontrar dónde cruza el eje x, igualamos a cero: -x + 4 = 0 x = 4

Por tanto, la función es positiva en $0,4$ y negativa en $4,6$ .

El área total será: Aₜ = ∫₀⁴ $-x+4$ dx + ∫₄⁶ - $-x+4$ dx

Resolviendo: Aₜ = $-x²/2 + 4x$ ₀⁴ + $x²/2 - 4x$ ₄⁶ Aₜ = $-8 + 16$ - $0 + 0$ + $18 - 24$ - $-8 + 16$ Aₜ = 10 unidades cuadradas

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Ejemplo con función cúbica

Para la función f(x) = x³-3x²-x+3 en $-2,2$ , comenzamos hallando sus raíces:

x³-3x²-x+3 = 0 $x-3$ $x²-1$ = 0 x = 3, x = 1, x = -1

Analizando el comportamiento de la función, determinamos que:

Es positiva en $-2,-1$
Negativa en $-1,1$
Positiva en $1,2$

El área total será la suma de tres integrales: Aₜ = ∫₍₋₂₎^(-1) $x³-3x²-x+3$ dx + ∫₍₋₁₎^1 - $x³-3x²-x+3$ dx + ∫₁² $x³-3x²-x+3$ dx

Tras resolver las integrales y sustituir los límites, obtenemos un área total de 9 unidades cuadradas.

⚠️ Atención: Las funciones cúbicas suelen tener múltiples cruces con el eje x, así que divide cuidadosamente los intervalos según el signo de la función.

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Ejercicios propuestos

Para practicar el cálculo de áreas bajo curvas, resuelve los siguientes ejercicios:

f(x) = 3x²+4x-7 en $-3, 1$
f(x) = -4x²+6x-2 en $-1, 2$
f(x) = x-4 en $-5,4$
f(x) = -2x+6 en $0,7$
f(x) = 12x-31 en $-3,4$
f(x) = x³+2x²-x-2 en $-2, 1$
f(x) = x³-5x²-2x+24 en $2,4$
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