Integrales Definidas: Conceptos Básicos

Las integrales definidas representan el área entre una función, el eje x y las rectas verticales que limitan un intervalo $a,b$. Se expresan como:

$A = \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

Donde F(x) es la antiderivada de f(x). Algunas propiedades importantes son:

• Al invertir los límites de integración, cambia el signo: $\int_{a}^{b} f(x)dx = - \int_{b}^{a} f(x)dx$
• La integral de un punto a sí mismo es cero: $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$
• La integral se puede dividir en subintervalos: $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$

Veamos un ejemplo: Para $f(x) = x^2 - 3x + 2$ en $[-1, 4]$, separamos la integral: $\int_{-1}^{4} (x^2 - 3x + 2) dx = \int_{-1}^{4} x^2 dx - 3 \int_{-1}^{4} x dx + 2 \int_{-1}^{4} dx$

💡 Recuerda que puedes descomponer una integral de suma de funciones en suma de integrales, lo que facilita mucho los cálculos.

Resolución de Integrales Definidas

Al resolver integrales definidas, primero hallamos la antiderivada y luego evaluamos en los límites. Para el ejemplo anterior:

$\int_{-1}^{4} (x^2 - 3x + 2) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_{-1}^{4}$

Esto significa que calculamos el valor de la expresión en x=4 y le restamos su valor en x=-1:

$= (\frac{64}{3} - 24 + 8) - (-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2)$ $= \frac{32}{6} + \frac{23}{6} = \frac{55}{6}$ unidades cuadradas

También podemos resolver integrales de polinomios de mayor grado. Por ejemplo: $\int_{0}^{5} (x^3 - 2x^2 + 4x - 7) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 2x^2 - 7x]_{0}^{5}$

$= \frac{625}{4} - \frac{250}{3} + 50 - 35 = \frac{1055}{12}$ unidades cuadradas

🔍 Una estrategia efectiva es encontrar la antiderivada término por término, y luego sustituir los límites directamente en la expresión resultante.

Integrales con Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas también aparecen en integrales definidas. Para resolver $f(x) = \text{sen}x + 4\text{cos}x - x$ en $[0, \pi/2]$:

$\int_{0}^{\pi/2} (\text{sen}x + 4\text{cos}x - x)dx = [-\text{cos}x + 4\text{sen}x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{\pi/2}$

$= (-0 + 4(1) - \frac{\pi^2}{8}) - (-1 + 0 - 0) = 5 - \frac{\pi^2}{8}$

Con funciones trigonométricas más complejas, necesitamos recordar sus integrales:

• $\int \text{tan}x , dx = -\ln|\text{cos}x| + C$
• $\int \text{sec}^2x , dx = \text{tan}x + C$
• $\int \text{csc}^2x , dx = -\text{cot}x + C$

Por ejemplo, para $f(x) = \text{tan}x - \text{sec}^2x + \text{cot}x$ en $[\pi/3, \pi/6]$: $\int_{\pi/3}^{\pi/6} (\text{tan}x - \text{sec}^2x - \text{csc}^2x) , dx = [-\ln|\text{cos}x| - \text{tan}x + \text{cot}x]_{\pi/3}^{\pi/6}$

📌 Recuerda estos valores clave: $\pi = 180°$, $\pi/3 = 60°$, $\pi/6 = 30°$. Esto te ayudará a evaluar funciones trigonométricas en estos puntos.

Fracciones Parciales en Integrales

Para resolver integrales de funciones racionales complejas, usamos el método de fracciones parciales. Cuando tenemos expresiones como $\frac{4x-9}{x^3-9x}$, descomponemos la fracción:

$\frac{4x-9}{x(x^2-9)} = \frac{4x-9}{x(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{x+3}$

Para encontrar A, B y C, puedes:

1. Evaluar la expresión en puntos estratégicos $x=0, x=3, x=-3$
2. Usar límites para determinar los coeficientes

Al evaluar en x=0: $\frac{4(0)-9}{0(0-3)(0+3)} = \frac{-9}{0(-3)(3)}$, obtenemos A=1 Al evaluar en x=3: $\frac{4(3)-9}{3(3-3)(3+3)}$, obtenemos B=1/6 Al evaluar en x=-3: $\frac{4(-3)-9}{-3(-3-3)(-3+3)}$, obtenemos C=-7/6

La descomposición queda: $\frac{4x-9}{x^3-9x} = \frac{1}{x} + \frac{1/6}{x-3} - \frac{7/6}{x+3}$

💪 Las fracciones parciales parecen complicadas al principio, pero son una herramienta poderosa para integrar expresiones racionales complejas. ¡Con práctica lo dominarás!

Sustituciones Trigonométricas

Algunas integrales que contienen raíces cuadradas pueden resolverse mediante sustituciones trigonométricas. Por ejemplo, para $\int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{x^2+3}} dx$:

Podemos usar la sustitución $x = \sqrt{3} \tan\theta$, lo que transforma $\sqrt{x^2+3}$ en $\sqrt{3} \sec\theta$:

$\int \frac{2}{\sqrt{x^2+3}} dx = \int \frac{2}{\sqrt{3} \sec\theta} \cdot \sqrt{3} \sec^2\theta , d\theta = 2 \int \sec\theta , d\theta$

La integral de la secante es $\ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$, por lo tanto: $\int \frac{2}{\sqrt{x^2+3}} dx = 2 \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$

Para evaluar en los límites, debemos convertir los valores de x a valores de θ. Cuando:

• x=0, θ=0
• x=1, θ=arctan(1/√3)

Al evaluar la integral entre estos límites, obtenemos el área bajo la curva.

🌟 Las sustituciones trigonométricas parecen un truco de magia: transforman integrales complicadas en otras más sencillas. Son especialmente útiles con raíces cuadradas de binomios como $\sqrt{x^2+a^2}$, $\sqrt{a^2-x^2}$ o $\sqrt{x^2-a^2}$.

Ejercicios Propuestos

Para practicar lo aprendido, intenta resolver estos ejercicios:

1. $\int_0^4 (2e^{2x} - \frac{5}{x} + 4x - 7x^3) dx$
2. $\int_{-1}^3 (\frac{8}{3}x^4 + \frac{7}{2}x^2 - \frac{9}{5}x + \frac{1}{7}) dx$
3. $\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\sqrt{49 - x^2}}{x^2} dx$
4. $\int_0^{\pi/4} \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} dx$
5. $\int_{-2}^0 \frac{3x + 2}{x^3 - 100x} dx$
6. $\int_{-4}^1 \frac{4x + 1}{x^3 + 10x^2 - 24x} dx$
7. $\int_2^3 \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^3} dx$

Cada uno de estos ejercicios aplica los conceptos que hemos estudiado. Para las integrales 5, 6 y 7, necesitarás usar fracciones parciales o sustituciones trigonométricas.

🔄 La práctica es clave para dominar las integrales. Intenta primero identificar qué tipo de integral es y qué método es más adecuado antes de comenzar a resolver.