Circunferencia con Centro en el Origen

Las circunferencias son esas líneas curvas perfectas donde todos los puntos están a la misma distancia del centro. Cuando el centro está en el punto (0,0), la cosa se vuelve súper fácil.

La fórmula mágica es x² + y² = r². Acá x e y son las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia, y r es el radio. También vas a necesitar la fórmula de distancia: d = √$(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²$.

¡Ojo! Esta fórmula solo funciona cuando el centro está en el origen (0,0). Si está en otro lugar, necesitás una fórmula diferente.

Ejemplos Prácticos con Centro en el Origen

Si te dan el radio directamente $como r = 8$, solo tenés que elevarlo al cuadrado: x² + y² = 64. ¡Pan comido!

Cuando te dan un punto por donde pasa la circunferencia, usás la fórmula de distancia para encontrar el radio. Por ejemplo, si pasa por (4,3), calculás d = √$(4-0)² + (3-0)²$ = 5, entonces la ecuación es x² + y² = 25.

Si te dan el área $como A = 10π$, despejás el radio de A = πr². En este caso, r² = 10/π, entonces x² + y² = 10/π.

Consejo: Cuando tenés dos puntos y van de extremo a extremo, esa distancia es el diámetro, no el radio. ¡Dividí por 2!

Circunferencia Fuera del Origen

Acá es donde la cosa se pone más interesante. Cuando el centro no está en (0,0), necesitás fórmulas más poderosas.

La forma ordinaria es $x-h$² + $y-k$² = r², donde (h,k) es el centro. La ecuación general se ve así: x² + y² + Dx + Ey + F = 0.

Para pasar de la general a la ordinaria, usás estas fórmulas: h = -D/2, k = -E/2, y r = √$(D² + E² - 4F)/4$.

Dato clave: La h y la k siempre van con signo opuesto en la ecuación ordinaria.

Resolviendo Problemas Reales

Con centro y radio conocidos, como C(1,3) y r=4, armás directamente: $x-1$² + $y-3$² = 16. Para la forma general, expandís y organizás: x² + y² - 2x - 6y - 6 = 0.

Si tenés el centro y un punto, calculás la distancia del centro al punto para obtener el radio. Con C$-4,3$ y A$-1,-1$, obtenés r = 5.

Para ir de la ecuación general al centro y radio, identificás D, E y F, luego aplicás las fórmulas. Con x² + y² - 3x + 4y - 4 = 0, obtenés C$1.5, -2$ y r = 2.69.

Tip de examen: Siempre verificá tus respuestas sustituyendo un punto conocido en la ecuación final.