Las formas cuadráticas son expresiones algebraicas fundamentales en el estudio del álgebra lineal que permiten analizar y clasificar superficies cuadráticas en espacios vectoriales.
Una forma cuadrática se define como una función que asocia a cada vector x de un espacio vectorial V un número real, expresada mediante una matriz simétrica A. La expresión general es de la forma Q(x) = x^T A x, donde la matriz de una forma cuadrática debe ser simétrica. Los ejercicios resueltos de formas cuadráticas demuestran que estas expresiones son esenciales para determinar la naturaleza geométrica de superficies en espacios multidimensionales.
La clasificación de formas cuadráticas se realiza mediante el estudio de sus valores propios y la diagonalización de formas cuadráticas. Una forma cuadrática puede ser definida positiva cuando todos sus valores propios son positivos, definida negativa cuando son negativos, semidefinida cuando incluye ceros, e indefinida cuando tiene valores propios tanto positivos como negativos. La diagonalización de formas cuadráticas permite simplificar su estudio mediante la transformación de la matriz asociada en una matriz diagonal, facilitando así su análisis y clasificación. Este proceso es fundamental en aplicaciones prácticas como la optimización, el análisis de estabilidad en sistemas dinámicos y el estudio de superficies cuadráticas en geometría analítica. Las transformaciones lineales juegan un papel crucial en este proceso, ya que permiten cambiar la base del espacio vectorial para obtener una representación más simple de la forma cuadrática.
