Operaciones con fracciones

Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, primero necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Por ejemplo, con $\frac{1}{2}$ y $\frac{5}{3}$, transformamos ambas fracciones para que tengan el mismo denominador. $\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6}$ y $\frac{5}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{10}{6}$. Ahora podemos restarlas: $\frac{3}{6} - \frac{10}{6} = \frac{-7}{6}$

Con $\frac{2}{3}$ y $\frac{5}{2}$, hacemos lo mismo: $\frac{2}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{6}$ y $\frac{5}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{15}{6}$. Sumamos: $\frac{4}{6} + \frac{15}{6} = \frac{19}{6}$

💡 Consejo: Siempre verifica si puedes simplificar tu respuesta final. Una fracción en su forma más simple es más fácil de usar en cálculos posteriores.

Más ejemplos con fracciones

Para operar con $\frac{-1}{2}$ y $\frac{-1}{4}$, convertimos $\frac{-1}{2}$ en $\frac{-2}{4}$ para tener el mismo denominador. Ahora podemos restar: $\frac{-2}{4} - \frac{-1}{4} = \frac{-2+1}{4} = \frac{-1}{4}$

Con $\frac{3}{2}$ y $\frac{2}{7}$, necesitamos un denominador común: $\frac{3}{2} \times \frac{7}{7} = \frac{21}{14}$ y $\frac{2}{7} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{14}$. Sumamos los numeradores: $\frac{21}{14} + \frac{4}{14} = \frac{25}{14}$

Para $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$, convertimos a denominador común: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6}$ y $\frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{6}$. Esto nos permite realizar operaciones con facilidad.

🔢 Recuerda: El truco está en encontrar un denominador común. Multiplicamos cada fracción por el número adecuado para que los denominadores sean iguales.

Más operaciones con fracciones

Al trabajar con $\frac{-2}{4}$ y $\frac{-1}{4}$, como ya tienen el mismo denominador (4), podemos restar directamente: $\frac{-2}{4} - \frac{-1}{4} = \frac{-2+1}{4} = \frac{-1}{4}$

Para $\frac{3}{2}$ y $\frac{2}{7}$, convertimos a denominador común (14): $\frac{3}{2} \times \frac{7}{7} = \frac{21}{14}$ y $\frac{2}{7} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{14}$. Sumando: $\frac{21}{14} + \frac{4}{14} = \frac{25}{14}$

Con $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$, el denominador común es 6: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6}$ y $\frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{6}$. Esto facilita cualquier operación que necesites realizar con ellas.

🧮 Atención: Siempre que trabajemos con fracciones, es importante verificar nuestros cálculos paso a paso para evitar errores.

Resolución de ecuaciones - Parte 1

Resolver ecuaciones es como despejar una incógnita de un rompecabezas. Vamos a ver algunos ejemplos:

Para $2(1+2x)-20=10$, expandimos el paréntesis: $2+4x-20=10$. Simplificamos: $-18+4x=10$. Despejamos $x$: $4x=10+18 \rightarrow 4x=28 \rightarrow x=7$

En la ecuación $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x-4))=4$, primero multiplicamos ambos lados por 2: $\frac{1}{2}(x-4)=8$. Multiplicamos nuevamente por 2: $x-4=16 \rightarrow x=20$

Para $3(\frac{1}{3}x-4)=24$, distribuimos: $x-12=24 \rightarrow x=36$

🔑 Clave: Al resolver ecuaciones, realizamos la misma operación en ambos lados para mantener la igualdad. El objetivo es aislar la variable $x$.

Resolución de ecuaciones - Parte 2

Seguimos con más ejemplos de ecuaciones:

Para $3(2+3x)-52=8$, primero desarrollamos los paréntesis: $6+9x-52=8$. Simplificamos: $-46+9x=8$. Despejamos $x$: $9x=8+46 \rightarrow 9x=54 \rightarrow x=6$

Al resolver $\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$, sumamos $\frac{4}{3}$ a ambos lados: $\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}+\frac{4}{3} \rightarrow \frac{2}{3}x=\frac{20}{3}$. Multiplicamos por $\frac{3}{2}$: $x=10$

En ecuaciones más complejas, es fundamental trabajar paso a paso. No tengas miedo de escribir cada paso, esto reduce la probabilidad de cometer errores.

🧩 Consejo práctico: Cuando resuelvas ecuaciones con fracciones, una buena estrategia es multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminarlos.

Resolución de ecuaciones - Parte 3

Veamos ejemplos más complejos:

Para $\frac{1}{3}(5-\frac{X}{2}-2)=\frac{3X-2}{2}-2$, primero simplificamos el lado izquierdo: $\frac{1}{3}(3-\frac{X}{2})$. Multiplicamos todo por 6 para eliminar fracciones. Tras distribuir términos y simplificar: $-10X=-30 \rightarrow X=3$

En $\frac{12X+16}{2}-22=10$, multiplicamos por 2 el primer término: $12X+16-44=20$. Simplificamos: $12X-28=20 \rightarrow 12X=48 \rightarrow X=4$

Al trabajar con ecuaciones con fracciones, multiplicar toda la ecuación por el denominador común puede facilitar mucho el trabajo. Este enfoque elimina las fracciones y nos permite trabajar con números enteros.

🔄 Recuerda: En cada paso de resolución, estamos realizando operaciones equivalentes que mantienen la igualdad. El objetivo final es siempre despejar la incógnita.

Resolución de ecuaciones - Parte 4

Continuamos con ecuaciones más desafiantes:

Para $3(1-2(1-X))=2X-(X-(1-X))+26$, primero debemos expandir los paréntesis. Aplicando la propiedad distributiva: $3(1-2+2X)=2X-X+1-X+26$. Simplificando: $3(-1+2X)=2X-2X+1+26$. Esto se reduce a: $-3+6X=27 \rightarrow 6X=30 \rightarrow X=5$

En la ecuación $\frac{5X+2}{3}-\frac{2X+3}{3}-X=9$, multiplicamos por 3 para eliminar fracciones: $5X+2-2X-3-3X=27$. Agrupamos términos: $5X-2X-3X+2-3=27 \rightarrow 0X=-1+27 \rightarrow X=11$

Al resolver $\frac{1}{2}(2X+1)=40+\frac{1}{2}$, multiplicamos por 2: $2X+1=80+1 \rightarrow 2X=80 \rightarrow X=40$

📝 Estrategia clave: Siempre comienza expandiendo paréntesis y eliminando fracciones antes de agrupar términos. Esto hace que el proceso sea más ordenado y menos propenso a errores.

Resolución de ecuaciones finales

Para la ecuación $2(X-3+\frac{9}{2})=2X+102$, expandimos primero: $2X-6+9=2X+102$. Simplificando: $2X+3=2X+102 \rightarrow 3=102$ (lo cual es una contradicción, hay que revisar los cálculos).

Al verificar paso a paso correctamente: $2(X-3+\frac{9}{2})=2X+102 \rightarrow 2X-6+9=2X+102 \rightarrow 2X+3=2X+102 \rightarrow 3=102$, lo que indica un error en el planteamiento o en la ecuación original.

Si tenemos un resultado en la cúspide de 40, y según el enunciado debemos restarle 17, obtenemos $40-17=23$ como resultado final.

🔍 Observación importante: Cuando llegas a una contradicción como $3=102$, significa que la ecuación no tiene solución o que hay un error en alguna parte. Siempre verifica tus pasos y el planteamiento original.