Introducción a los Números Complejos
Los números complejos son una extensión fundamental del sistema numérico que incorpora la unidad imaginaria i, definida como i = √-1. Esta unidad permite trabajar con raíces cuadradas de números negativos, ampliando significativamente el alcance de las matemáticas.
Definición: Un número complejo en forma binómica se expresa como z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se define formalmente como:
Highlight: C = {a + bi | a, b ∈ R}
Esta notación indica que a y b son números reales cualesquiera.
Para cada número complejo z, existen conceptos relacionados importantes:
- El opuesto de z: -z = -a - bi
- El conjugado de z: z* = a - bi
Ejemplo: Si z = 3 + 2i, entonces -z = -3 - 2i y z* = 3 - 2i
La representación gráfica de los números complejos se realiza en el plano complejo, donde el eje horizontal representa la parte real y el eje vertical la parte imaginaria.
Las potencias de la unidad imaginaria siguen un patrón cíclico:
- i^0 = 1
- i^1 = i
- i^2 = -1
- i^3 = -i
- i^4 = 1 (y el ciclo se repite)
Vocabulary: Forma polar: Representación de un número complejo mediante su módulo y argumento.
Las operaciones básicas con números complejos incluyen:
- Suma y resta: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
- Multiplicación: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- División: Se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Los números complejos también pueden expresarse en forma trigonométrica:
z = a + bi = r(cos α + i sen α)
Donde r es el módulo y α es el argumento del número complejo.
Highlight: La fórmula de De Moivre establece que (cos α + i sen α)^n = cos(nα) + i sen(nα)
Esta fórmula es especialmente útil para calcular potencias de números complejos en forma polar.
Finalmente, la raíz n-ésima de un número complejo en forma polar se puede calcular utilizando la fórmula:
Example: √z = ⁿ√r [cos((α + 2kπ)/n) + i sen((α + 2kπ)/n)], donde k = 0, 1, ..., n-1
Esta fórmula proporciona las n raíces distintas de un número complejo, ampliando así el concepto de raíz cuadrada a un contexto más general.
