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Números Complejos: 10 Ejemplos y Ejercicios Resueltos

107

2

A

Andres David Ochoa Pineda

23/6/2024

Matemáticas

Numeros Complejos

600

23 de jun de 2024

1 página

Números Complejos: 10 Ejemplos y Ejercicios Resueltos

A

Andres David Ochoa Pineda

@andres8a

Los números complejosson una extensión de los números reales... Mostrar más

Unidad
Imaginaria
Número
NÚMEROS COMPLETOS
i=√1=12=-1
complejo en forma binomica
z = a+bi
a = Re (2) parte real
2 b = Im (2) parte
imaginara

Introducción a los Números Complejos

Los números complejos son una extensión fundamental del sistema numérico que incorpora la unidad imaginaria i, definida como i = √-1. Esta unidad permite trabajar con raíces cuadradas de números negativos, ampliando significativamente el alcance de las matemáticas.

Definición: Un número complejo en forma binómica se expresa como z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

El conjunto de los números complejos se define formalmente como:

Highlight: C = {a + bi | a, b ∈ R}

Esta notación indica que a y b son números reales cualesquiera.

Para cada número complejo z, existen conceptos relacionados importantes:

  1. El opuesto de z: -z = -a - bi
  2. El conjugado de z: z* = a - bi

Ejemplo: Si z = 3 + 2i, entonces -z = -3 - 2i y z* = 3 - 2i

La representación gráfica de los números complejos se realiza en el plano complejo, donde el eje horizontal representa la parte real y el eje vertical la parte imaginaria.

Las potencias de la unidad imaginaria siguen un patrón cíclico:

  • i^0 = 1
  • i^1 = i
  • i^2 = -1
  • i^3 = -i
  • i^4 = 1 yelcicloserepitey el ciclo se repite

Vocabulary: Forma polar: Representación de un número complejo mediante su módulo y argumento.

Las operaciones básicas con números complejos incluyen:

  1. Suma y resta: a+bia + bi ± c+dic + di = a±ca ± c + b±db ± di
  2. Multiplicación: a+bia + bic+dic + di = acbdac - bd + ad+bcad + bci
  3. División: Se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Los números complejos también pueden expresarse en forma trigonométrica:

z = a + bi = rcosα+isenαcos α + i sen α

Donde r es el módulo y α es el argumento del número complejo.

Highlight: La fórmula de De Moivre establece que cosα+isenαcos α + i sen α^n = cosnα + i sennα

Esta fórmula es especialmente útil para calcular potencias de números complejos en forma polar.

Finalmente, la raíz n-ésima de un número complejo en forma polar se puede calcular utilizando la fórmula:

Example: √z = ⁿ√r cos((α+2kπ)/n)+isen((α+2kπ)/n)cos((α + 2kπ)/n) + i sen((α + 2kπ)/n), donde k = 0, 1, ..., n-1

Esta fórmula proporciona las n raíces distintas de un número complejo, ampliando así el concepto de raíz cuadrada a un contexto más general.



Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

 

Matemáticas

600

23 de jun de 2024

1 página

Números Complejos: 10 Ejemplos y Ejercicios Resueltos

A

Andres David Ochoa Pineda

@andres8a

Los números complejos son una extensión de los números reales que incluyen la unidad imaginaria i. Este concepto fundamental en matemáticas avanzadas tiene aplicaciones en diversas áreas como la ingeniería eléctrica y la física cuántica.

Unidad
Imaginaria
Número
NÚMEROS COMPLETOS
i=√1=12=-1
complejo en forma binomica
z = a+bi
a = Re (2) parte real
2 b = Im (2) parte
imaginara

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Introducción a los Números Complejos

Los números complejos son una extensión fundamental del sistema numérico que incorpora la unidad imaginaria i, definida como i = √-1. Esta unidad permite trabajar con raíces cuadradas de números negativos, ampliando significativamente el alcance de las matemáticas.

Definición: Un número complejo en forma binómica se expresa como z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

El conjunto de los números complejos se define formalmente como:

Highlight: C = {a + bi | a, b ∈ R}

Esta notación indica que a y b son números reales cualesquiera.

Para cada número complejo z, existen conceptos relacionados importantes:

  1. El opuesto de z: -z = -a - bi
  2. El conjugado de z: z* = a - bi

Ejemplo: Si z = 3 + 2i, entonces -z = -3 - 2i y z* = 3 - 2i

La representación gráfica de los números complejos se realiza en el plano complejo, donde el eje horizontal representa la parte real y el eje vertical la parte imaginaria.

Las potencias de la unidad imaginaria siguen un patrón cíclico:

  • i^0 = 1
  • i^1 = i
  • i^2 = -1
  • i^3 = -i
  • i^4 = 1 yelcicloserepitey el ciclo se repite

Vocabulary: Forma polar: Representación de un número complejo mediante su módulo y argumento.

Las operaciones básicas con números complejos incluyen:

  1. Suma y resta: a+bia + bi ± c+dic + di = a±ca ± c + b±db ± di
  2. Multiplicación: a+bia + bic+dic + di = acbdac - bd + ad+bcad + bci
  3. División: Se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Los números complejos también pueden expresarse en forma trigonométrica:

z = a + bi = rcosα+isenαcos α + i sen α

Donde r es el módulo y α es el argumento del número complejo.

Highlight: La fórmula de De Moivre establece que cosα+isenαcos α + i sen α^n = cosnα + i sennα

Esta fórmula es especialmente útil para calcular potencias de números complejos en forma polar.

Finalmente, la raíz n-ésima de un número complejo en forma polar se puede calcular utilizando la fórmula:

Example: √z = ⁿ√r cos((α+2kπ)/n)+isen((α+2kπ)/n)cos((α + 2kπ)/n) + i sen((α + 2kπ)/n), donde k = 0, 1, ..., n-1

Esta fórmula proporciona las n raíces distintas de un número complejo, ampliando así el concepto de raíz cuadrada a un contexto más general.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Opiniones de nuestros usuarios. Ellos obtuvieron cosas geniales — y tú también podrías.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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