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24 de jun de 2024

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Ejercicios Resueltos de Derivación Implícita y Fórmulas PDF

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Jennifer Alejandra Hernandez Fajardo

@l_ale.her_l

Implicit Differentiationis a crucial mathematical technique for finding derivatives... Mostrar más

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

Ejercicios de Derivación Implícita

En esta sección, se presentan varios ejercicios resueltos de derivación implícita, aumentando gradualmente en complejidad.

Ejercicio 1: x² + y² - 34 = 12

Para resolver este ejercicio, seguimos los pasos de la derivación implícita:

  1. Derivamos ambos lados de la ecuación: 2x + 2yy' - 3y² = 0
  2. Agrupamos los términos con y': 2yy' - 3y' = -2x
  3. Factorizamos y': y'2y−32y - 3 = -2x
  4. Despejamos y': y' = -2x / 2y−32y - 3

Highlight: Observa cómo aplicamos la regla de la cadena al término y², obteniendo 2yy'.

Ejercicio 2: -5x²y - 34 - 6y² = 3x

Este ejercicio es más complejo y requiere una aplicación cuidadosa de la regla del producto:

  1. Derivamos ambos lados: −10xy−5x2y′-10xy - 5x²y' + −12yy′-12yy' = 3
  2. Agrupamos los términos con y': -5x²y' - 12yy' = 3 + 10xy
  3. Factorizamos y': y'−5x2−12y-5x² - 12y = 3 + 10xy
  4. Despejamos y': y' = 3+10xy3 + 10xy / −5x2−12y-5x² - 12y

Vocabulary: La regla del producto se utiliza para derivar el producto de dos funciones: uvuv' = u'v + uv'.

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

Derivación Implícita de Ecuaciones Complejas

En esta sección, abordamos ecuaciones más complejas que requieren un manejo cuidadoso de las reglas de derivación y álgebra.

Ejercicio 3: x²y² = (y + 1)² (y - y)²

Este ejercicio implica el desarrollo de expresiones cuadráticas antes de la derivación:

  1. Desarrollamos los cuadrados: x²y² = y2+2y+1y² + 2y + 1y2−2yy+y2y² - 2yy + y²
  2. Distribuimos: x²y² = y⁴ - 6y³ + y² + 2y⁴ + 16
  3. Derivamos implícitamente: 2xy² + 2x²yy' = 4y³y' - 18y²y' + 2yy' + 24y'
  4. Agrupamos y factorizamos y': 2xy² = 4y3−18y2+2y+24−2yx24y³ - 18y² + 2y + 24 - 2yx²y'
  5. Despejamos y': y' = 2xy² / 4y3−18y2+2y+24−2yx24y³ - 18y² + 2y + 24 - 2yx²

Example: Este ejercicio demuestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos elevados a potencias y productos complejos.

Ejercicio 4: xy³ - y(2 + y)² = 2x

Para este ejercicio, desarrollamos primero el término cuadrático:

  1. Desarrollamos 2+y2 + y²: xy³ - y4+4y+y24 + 4y + y² = 2x
  2. Distribuimos: xy³ - 4y - 4y² - y³ = 2x
  3. Derivamos implícitamente: y³ + 3xy²y' - 4y' - 8yy' - 3y²y' = 2
  4. Agrupamos y factorizamos y': 3xy2−4−8y−3y23xy² - 4 - 8y - 3y²y' = 2 - y³
  5. Despejamos y': y' = 2−y32 - y³ / 3xy2−4−8y−3y23xy² - 4 - 8y - 3y²

Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla del producto y la regla de la cadena simultáneamente.

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

Aplicaciones Avanzadas de Derivación Implícita

En esta última sección, exploramos aplicaciones más avanzadas de la derivación implícita, incluyendo ecuaciones con raíces y potencias fraccionarias.

Ejercicio 5: (2y + 3)⁴ = 5x³ - 3x

Este ejercicio requiere una aplicación cuidadosa de la regla de la cadena:

  1. Derivamos implícitamente: 42y+32y + 3³ · 2y' = 15x² - 3
  2. Simplificamos: 82y+32y + 3³y' = 15x² - 3
  3. Despejamos y': y' = 15x2−315x² - 3 / 8(2y+38(2y + 3³)

Vocabulary: La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas: f(g(xf(g(x))' = f'g(xg(x) · g'xx.

Ejercicio 6: 6x² - 5x = (5y - 12)³

Aplicamos la derivación implícita directamente:

  1. Derivamos ambos lados: 12x - 5 = 35y−125y - 12² · 5y'
  2. Simplificamos: 12x - 5 = 155y−125y - 12²y'
  3. Despejamos y': y' = 12x−512x - 5 / 15(5y−1215(5y - 12²)

Example: Este ejercicio muestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos cúbicos y lineales simultáneamente.

Ejercicio 7: 2x + (5 - y²)³ = x² + 2

Este último ejercicio combina varias técnicas:

  1. Derivamos implícitamente: 2 + 35−y25 - y²² · −2y-2yy' = 2x
  2. Simplificamos: 2 - 6y5−y25 - y²²y' = 2x
  3. Despejamos y': y' = 2x−22x - 2 / −6y(5−y2-6y(5 - y²²)

Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla de la cadena para el término cúbico.

Estos ejercicios demuestran la versatilidad y potencia de la derivación implícita para resolver problemas complejos en cálculo. Dominar esta técnica es esencial para abordar una amplia gama de problemas matemáticos y aplicaciones en ciencias e ingeniería.

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

Page 5: Final Examples and Advanced Techniques

The final page presents challenging examples of derivada implícita ejercicios resueltos, demonstrating advanced problem-solving techniques.

Example: The equation 6x² - 5x = 5y−125y-12³ illustrates complex chain rule applications.

Highlight: Key focus areas include:

  • Advanced chain rule applications
  • Complex polynomial differentiation
  • Final solution simplification techniques
DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

Introducción a la Derivación Implícita

La derivación implícita es una técnica fundamental en cálculo que se utiliza cuando no podemos despejar y en términos de x en una ecuación. Este método nos permite encontrar dy/dx sin necesidad de resolver la ecuación para y.

Definición: La derivación implícita es el proceso de encontrar la derivada de una función que no está expresada explícitamente en términos de la variable independiente.

Para aplicar la derivación implícita, seguimos estos pasos:

  1. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x.
  2. Aplicamos la regla de la cadena a los términos que contienen y.
  3. Agrupamos todos los términos que contienen dy/dx.
  4. Despejamos dy/dx.

Ejemplo: Para la ecuación 5x = 3y³, aplicamos derivación implícita:

  1. Derivamos ambos lados: 5 = 9y²dy/dxdy/dx
  2. Despejamos: dy/dx = 5/9y29y²

Highlight: Es crucial recordar que al derivar términos con y, debemos multiplicar por dy/dx debido a la regla de la cadena.

La notación dy/dx se lee como "derivada de y con respecto a x" y es equivalente a f'xx o y'.



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Opiniones de nuestros usuarios. Ellos obtuvieron cosas geniales — y tú también podrías.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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usuaria de Android

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Jennifer Alejandra Hernandez Fajardo

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Implicit Differentiation is a crucial mathematical technique for finding derivatives when variables cannot be isolated. This comprehensive guide covers essential concepts and practical examples.

  • Introduces the fundamental concept of implicit differentiation and its application
  • Demonstrates step-by-step solutions for various complex... Mostrar más

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

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Ejercicios de Derivación Implícita

En esta sección, se presentan varios ejercicios resueltos de derivación implícita, aumentando gradualmente en complejidad.

Ejercicio 1: x² + y² - 34 = 12

Para resolver este ejercicio, seguimos los pasos de la derivación implícita:

  1. Derivamos ambos lados de la ecuación: 2x + 2yy' - 3y² = 0
  2. Agrupamos los términos con y': 2yy' - 3y' = -2x
  3. Factorizamos y': y'2y−32y - 3 = -2x
  4. Despejamos y': y' = -2x / 2y−32y - 3

Highlight: Observa cómo aplicamos la regla de la cadena al término y², obteniendo 2yy'.

Ejercicio 2: -5x²y - 34 - 6y² = 3x

Este ejercicio es más complejo y requiere una aplicación cuidadosa de la regla del producto:

  1. Derivamos ambos lados: −10xy−5x2y′-10xy - 5x²y' + −12yy′-12yy' = 3
  2. Agrupamos los términos con y': -5x²y' - 12yy' = 3 + 10xy
  3. Factorizamos y': y'−5x2−12y-5x² - 12y = 3 + 10xy
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Vocabulary: La regla del producto se utiliza para derivar el producto de dos funciones: uvuv' = u'v + uv'.

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Derivación Implícita de Ecuaciones Complejas

En esta sección, abordamos ecuaciones más complejas que requieren un manejo cuidadoso de las reglas de derivación y álgebra.

Ejercicio 3: x²y² = (y + 1)² (y - y)²

Este ejercicio implica el desarrollo de expresiones cuadráticas antes de la derivación:

  1. Desarrollamos los cuadrados: x²y² = y2+2y+1y² + 2y + 1y2−2yy+y2y² - 2yy + y²
  2. Distribuimos: x²y² = y⁴ - 6y³ + y² + 2y⁴ + 16
  3. Derivamos implícitamente: 2xy² + 2x²yy' = 4y³y' - 18y²y' + 2yy' + 24y'
  4. Agrupamos y factorizamos y': 2xy² = 4y3−18y2+2y+24−2yx24y³ - 18y² + 2y + 24 - 2yx²y'
  5. Despejamos y': y' = 2xy² / 4y3−18y2+2y+24−2yx24y³ - 18y² + 2y + 24 - 2yx²

Example: Este ejercicio demuestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos elevados a potencias y productos complejos.

Ejercicio 4: xy³ - y(2 + y)² = 2x

Para este ejercicio, desarrollamos primero el término cuadrático:

  1. Desarrollamos 2+y2 + y²: xy³ - y4+4y+y24 + 4y + y² = 2x
  2. Distribuimos: xy³ - 4y - 4y² - y³ = 2x
  3. Derivamos implícitamente: y³ + 3xy²y' - 4y' - 8yy' - 3y²y' = 2
  4. Agrupamos y factorizamos y': 3xy2−4−8y−3y23xy² - 4 - 8y - 3y²y' = 2 - y³
  5. Despejamos y': y' = 2−y32 - y³ / 3xy2−4−8y−3y23xy² - 4 - 8y - 3y²

Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla del producto y la regla de la cadena simultáneamente.

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Aplicaciones Avanzadas de Derivación Implícita

En esta última sección, exploramos aplicaciones más avanzadas de la derivación implícita, incluyendo ecuaciones con raíces y potencias fraccionarias.

Ejercicio 5: (2y + 3)⁴ = 5x³ - 3x

Este ejercicio requiere una aplicación cuidadosa de la regla de la cadena:

  1. Derivamos implícitamente: 42y+32y + 3³ · 2y' = 15x² - 3
  2. Simplificamos: 82y+32y + 3³y' = 15x² - 3
  3. Despejamos y': y' = 15x2−315x² - 3 / 8(2y+38(2y + 3³)

Vocabulary: La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas: f(g(xf(g(x))' = f'g(xg(x) · g'xx.

Ejercicio 6: 6x² - 5x = (5y - 12)³

Aplicamos la derivación implícita directamente:

  1. Derivamos ambos lados: 12x - 5 = 35y−125y - 12² · 5y'
  2. Simplificamos: 12x - 5 = 155y−125y - 12²y'
  3. Despejamos y': y' = 12x−512x - 5 / 15(5y−1215(5y - 12²)

Example: Este ejercicio muestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos cúbicos y lineales simultáneamente.

Ejercicio 7: 2x + (5 - y²)³ = x² + 2

Este último ejercicio combina varias técnicas:

  1. Derivamos implícitamente: 2 + 35−y25 - y²² · −2y-2yy' = 2x
  2. Simplificamos: 2 - 6y5−y25 - y²²y' = 2x
  3. Despejamos y': y' = 2x−22x - 2 / −6y(5−y2-6y(5 - y²²)

Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla de la cadena para el término cúbico.

Estos ejercicios demuestran la versatilidad y potencia de la derivación implícita para resolver problemas complejos en cálculo. Dominar esta técnica es esencial para abordar una amplia gama de problemas matemáticos y aplicaciones en ciencias e ingeniería.

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Page 5: Final Examples and Advanced Techniques

The final page presents challenging examples of derivada implícita ejercicios resueltos, demonstrating advanced problem-solving techniques.

Example: The equation 6x² - 5x = 5y−125y-12³ illustrates complex chain rule applications.

Highlight: Key focus areas include:

  • Advanced chain rule applications
  • Complex polynomial differentiation
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Introducción a la Derivación Implícita

La derivación implícita es una técnica fundamental en cálculo que se utiliza cuando no podemos despejar y en términos de x en una ecuación. Este método nos permite encontrar dy/dx sin necesidad de resolver la ecuación para y.

Definición: La derivación implícita es el proceso de encontrar la derivada de una función que no está expresada explícitamente en términos de la variable independiente.

Para aplicar la derivación implícita, seguimos estos pasos:

  1. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x.
  2. Aplicamos la regla de la cadena a los términos que contienen y.
  3. Agrupamos todos los términos que contienen dy/dx.
  4. Despejamos dy/dx.

Ejemplo: Para la ecuación 5x = 3y³, aplicamos derivación implícita:

  1. Derivamos ambos lados: 5 = 9y²dy/dxdy/dx
  2. Despejamos: dy/dx = 5/9y29y²

Highlight: Es crucial recordar que al derivar términos con y, debemos multiplicar por dy/dx debido a la regla de la cadena.

La notación dy/dx se lee como "derivada de y con respecto a x" y es equivalente a f'xx o y'.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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