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Derivación Implícita: Ejercicios Resueltos, Fórmulas y Calculadoras

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Derivación Implícita: Ejercicios Resueltos, Fórmulas y Calculadoras
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Jennifer Alejandra Hernandez Fajardo

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Derivación Implícita: Ejercicios Resueltos, Fórmulas y Calculadoras

Aquí está el resumen optimizado para SEO en español:

La derivación implícita es un método para encontrar la derivada de funciones que no están despejadas explícitamente. Este proceso implica derivar ambos lados de una ecuación y luego despejar la derivada de y con respecto a x. Es una herramienta esencial en cálculo para resolver problemas complejos donde las variables están entrelazadas.

Puntos clave:

  • Se utiliza cuando y no está despejada en términos de x
  • Requiere un sólido conocimiento de las reglas de derivación
  • Implica derivar ambos lados de la ecuación y luego despejar y'
  • Es útil para ecuaciones donde las variables están mezcladas

24/6/2024

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Introducción a la Derivación Implícita

La derivación implícita es una técnica fundamental en cálculo que se utiliza cuando no podemos despejar y en términos de x en una ecuación. Este método nos permite encontrar dy/dx sin necesidad de resolver la ecuación para y.

Definición: La derivación implícita es el proceso de encontrar la derivada de una función que no está expresada explícitamente en términos de la variable independiente.

Para aplicar la derivación implícita, seguimos estos pasos:

  1. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x.
  2. Aplicamos la regla de la cadena a los términos que contienen y.
  3. Agrupamos todos los términos que contienen dy/dx.
  4. Despejamos dy/dx.

Ejemplo: Para la ecuación 5x = 3y³, aplicamos derivación implícita:

  1. Derivamos ambos lados: 5 = 9y²(dy/dx)
  2. Despejamos: dy/dx = 5/(9y²)

Highlight: Es crucial recordar que al derivar términos con y, debemos multiplicar por dy/dx debido a la regla de la cadena.

La notación dy/dx se lee como "derivada de y con respecto a x" y es equivalente a f'(x) o y'.

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

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Ejercicios de Derivación Implícita

En esta sección, se presentan varios ejercicios resueltos de derivación implícita, aumentando gradualmente en complejidad.

Ejercicio 1: x² + y² - 34 = 12

Para resolver este ejercicio, seguimos los pasos de la derivación implícita:

  1. Derivamos ambos lados de la ecuación: 2x + 2yy' - 3y² = 0
  2. Agrupamos los términos con y': 2yy' - 3y' = -2x
  3. Factorizamos y': y'(2y - 3) = -2x
  4. Despejamos y': y' = -2x / (2y - 3)

Highlight: Observa cómo aplicamos la regla de la cadena al término y², obteniendo 2yy'.

Ejercicio 2: -5x²y - 34 - 6y² = 3x

Este ejercicio es más complejo y requiere una aplicación cuidadosa de la regla del producto:

  1. Derivamos ambos lados: (-10xy - 5x²y') + (-12yy') = 3
  2. Agrupamos los términos con y': -5x²y' - 12yy' = 3 + 10xy
  3. Factorizamos y': y'(-5x² - 12y) = 3 + 10xy
  4. Despejamos y': y' = (3 + 10xy) / (-5x² - 12y)

Vocabulary: La regla del producto se utiliza para derivar el producto de dos funciones: (uv)' = u'v + uv'.

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

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Derivación Implícita de Ecuaciones Complejas

En esta sección, abordamos ecuaciones más complejas que requieren un manejo cuidadoso de las reglas de derivación y álgebra.

Ejercicio 3: x²y² = (y + 1)² (y - y)²

Este ejercicio implica el desarrollo de expresiones cuadráticas antes de la derivación:

  1. Desarrollamos los cuadrados: x²y² = (y² + 2y + 1)(y² - 2yy + y²)
  2. Distribuimos: x²y² = y⁴ - 6y³ + y² + 2y⁴ + 16
  3. Derivamos implícitamente: 2xy² + 2x²yy' = 4y³y' - 18y²y' + 2yy' + 24y'
  4. Agrupamos y factorizamos y': 2xy² = (4y³ - 18y² + 2y + 24 - 2yx²)y'
  5. Despejamos y': y' = 2xy² / (4y³ - 18y² + 2y + 24 - 2yx²)

Example: Este ejercicio demuestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos elevados a potencias y productos complejos.

Ejercicio 4: xy³ - y(2 + y)² = 2x

Para este ejercicio, desarrollamos primero el término cuadrático:

  1. Desarrollamos (2 + y)²: xy³ - y(4 + 4y + y²) = 2x
  2. Distribuimos: xy³ - 4y - 4y² - y³ = 2x
  3. Derivamos implícitamente: y³ + 3xy²y' - 4y' - 8yy' - 3y²y' = 2
  4. Agrupamos y factorizamos y': (3xy² - 4 - 8y - 3y²)y' = 2 - y³
  5. Despejamos y': y' = (2 - y³) / (3xy² - 4 - 8y - 3y²)

Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla del producto y la regla de la cadena simultáneamente.

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Aplicaciones Avanzadas de Derivación Implícita

En esta última sección, exploramos aplicaciones más avanzadas de la derivación implícita, incluyendo ecuaciones con raíces y potencias fraccionarias.

Ejercicio 5: (2y + 3)⁴ = 5x³ - 3x

Este ejercicio requiere una aplicación cuidadosa de la regla de la cadena:

  1. Derivamos implícitamente: 4(2y + 3)³ · 2y' = 15x² - 3
  2. Simplificamos: 8(2y + 3)³y' = 15x² - 3
  3. Despejamos y': y' = (15x² - 3) / (8(2y + 3)³)

Vocabulary: La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).

Ejercicio 6: 6x² - 5x = (5y - 12)³

Aplicamos la derivación implícita directamente:

  1. Derivamos ambos lados: 12x - 5 = 3(5y - 12)² · 5y'
  2. Simplificamos: 12x - 5 = 15(5y - 12)²y'
  3. Despejamos y': y' = (12x - 5) / (15(5y - 12)²)

Example: Este ejercicio muestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos cúbicos y lineales simultáneamente.

Ejercicio 7: 2x + (5 - y²)³ = x² + 2

Este último ejercicio combina varias técnicas:

  1. Derivamos implícitamente: 2 + 3(5 - y²)² · (-2y)y' = 2x
  2. Simplificamos: 2 - 6y(5 - y²)²y' = 2x
  3. Despejamos y': y' = (2x - 2) / (-6y(5 - y²)²)

Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla de la cadena para el término cúbico.

Estos ejercicios demuestran la versatilidad y potencia de la derivación implícita para resolver problemas complejos en cálculo. Dominar esta técnica es esencial para abordar una amplia gama de problemas matemáticos y aplicaciones en ciencias e ingeniería.

DERIVACION IMPLICT JA La derivacion implicita se refiere a no tenemos a la "y" despejada. Por ejemplo: 5x = 3y³ cuando en nuestra ecuación P

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