Aplicaciones Avanzadas de Derivación Implícita
En esta última sección, exploramos aplicaciones más avanzadas de la derivación implícita, incluyendo ecuaciones con raíces y potencias fraccionarias.
Ejercicio 5: (2y + 3)⁴ = 5x³ - 3x
Este ejercicio requiere una aplicación cuidadosa de la regla de la cadena:
- Derivamos implícitamente:
42y+3³ · 2y' = 15x² - 3
- Simplificamos:
82y+3³y' = 15x² - 3
- Despejamos y':
y' = 15x2−3 / 8(2y+3³)
Vocabulary: La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas: f(g(x))' = f'g(x) · g'x.
Ejercicio 6: 6x² - 5x = (5y - 12)³
Aplicamos la derivación implícita directamente:
- Derivamos ambos lados:
12x - 5 = 35y−12² · 5y'
- Simplificamos:
12x - 5 = 155y−12²y'
- Despejamos y':
y' = 12x−5 / 15(5y−12²)
Example: Este ejercicio muestra cómo la derivación implícita puede manejar ecuaciones con términos cúbicos y lineales simultáneamente.
Ejercicio 7: 2x + (5 - y²)³ = x² + 2
Este último ejercicio combina varias técnicas:
- Derivamos implícitamente:
2 + 35−y2² · −2yy' = 2x
- Simplificamos:
2 - 6y5−y2²y' = 2x
- Despejamos y':
y' = 2x−2 / −6y(5−y2²)
Highlight: La complejidad de este ejercicio radica en el manejo correcto de la regla de la cadena para el término cúbico.
Estos ejercicios demuestran la versatilidad y potencia de la derivación implícita para resolver problemas complejos en cálculo. Dominar esta técnica es esencial para abordar una amplia gama de problemas matemáticos y aplicaciones en ciencias e ingeniería.