Ecuaciones Paramétricas y Simétricas de Rectas en R3
La representación de rectas en el espacio tridimensional requiere comprender dos formas fundamentales: las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas. Estas representaciones son esenciales para describir la posición y dirección de una recta en R3, permitiendo resolver problemas geométricos complejos.
Las ecuaciones paramétricas de la recta en R3 se expresan mediante un punto inicial P₀−2,5,3 y un vector director v⃗−1,1,−2. La forma paramétrica general se escribe como:
x,y,z = −2,5,3 + t−1,1,−2, donde t es el parámetro. Esto se desglosa en tres ecuaciones:
x = -2 - t
y = 5 + t
z = 3 - 2t
Definición: Las ecuaciones paramétricas describen cada coordenada x,y,z en función de un parámetro t, permitiendo generar todos los puntos de la recta conforme t varía.
Para obtener la forma simétrica, se despeja el parámetro t en cada ecuación paramétrica y se igualan las expresiones resultantes. Este proceso nos lleva a:
x+2/1 = y−5/1 = z−3/-2
Ejemplo: Si queremos encontrar un punto específico en la recta, podemos asignar un valor a t. Por ejemplo, si t=1:
x = -2 - 1 = -3
y = 5 + 1 = 6
z = 3 - 21 = 1
El punto −3,6,1 pertenece a la recta.