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Yermahin Carreño
14/8/2025
Matemáticas
Limites y continuidad
5.624
•
14 de ago de 2025
•
Yermahin Carreño
@ermahinarreo_lheeotb
Los límites trigonométricos y el uso de GeoGebra onlineson... Mostrar más
La función a trozos f(x) = {2x+3 si x≤2; x²+1 si x>2} nos permite explorar los límites infinitos en GeoGebra y analizar la continuidad en GeoGebra. Al evaluar los límites laterales, observamos comportamientos distintos según nos aproximemos por la izquierda o por la derecha.
Definición: Una función a trozos es aquella definida por diferentes expresiones algebraicas según intervalos específicos del dominio.
Para determinar los límites laterales, analizamos el comportamiento cuando x→-∞, x→+∞, y x→2 por ambos lados. Al evaluar lim(x→-∞) f(x), la expresión 2x+3 tiende a -∞. Para lim(x→+∞) f(x), x²+1 tiende a +∞. En x=2, tenemos diferentes valores según el lado de aproximación: lim(x→2-) f(x)=7 y lim(x→2+) f(x)=5.
Ejemplo: Para graficar límites en GeoGebra, ingresamos la función por partes usando el comando Si[condición, expresión1, expresión2].
Al enfrentarnos a límites indeterminados de la forma 0/0, como en lim(x→-1)[2x²+3x+1]/[x²-2x-3], es crucial aplicar técnicas algebraicas para resolver la indeterminación. La calculadora de límites puede ayudar a verificar resultados, pero entender el proceso analítico es fundamental.
Destacado: La factorización es una herramienta esencial para resolver límites indeterminados.
El proceso de resolución implica factorizar tanto numerador como denominador, identificar factores comunes y simplificar la expresión hasta obtener una forma determinada. En este caso, tras la simplificación algebraica, obtenemos el valor límite de 1/4 o 0.25.
La resolución de límites indeterminados requiere dominar técnicas de factorización. Al trabajar con expresiones como [2x²+3x+1]/[x²-2x-3], aplicamos los siguientes pasos:
Vocabulario: La factorización es la descomposición de una expresión algebraica en el producto de sus factores.
Los límites al infinito ejercicios resueltos requieren técnicas específicas como la división por la mayor potencia. Para el límite lim(x→∞)[-6x+x²+1]/[2x⁴-x], seguimos estos pasos:
Ejemplo: Al dividir por x⁴, los términos con menor grado tienden a cero cuando x→∞.
El resultado final de -3 puede verificarse usando GeoGebra online, observando cómo la función se aproxima asintóticamente a este valor.
The final page shows the GeoGebra graph of the piecewise function after determining the values of a and b. The graph visually confirms the continuity of the function at the transition points.
Highlight: GeoGebra proves to be an invaluable tool for visualizing mathematical concepts, especially in the study of limits and continuity.
The complete piecewise function is now defined as:
f(x) = { x + 1, x < 1 4x - 2, 1 ≤ x ≤ 2 3x, x > 2
Example: The graph in GeoGebra shows smooth transitions at x = 1 and x = 2, confirming the function's continuity.
This visual representation helps solidify the understanding of how limits determine the continuity of piecewise functions.
This section focuses on graphing a piecewise function in GeoGebra and determining its lateral limits. The function is defined as:
f(x) = { 2x + 3, x ≤ 2 x² + 1, x > 2
The lateral limits to be determined are:
Example: For lim f(x) as x → -∞, we evaluate 2(-∞) + 3 = -∞
Highlight: The use of GeoGebra allows for a visual representation of the function, making it easier to understand the behavior of limits.
Vocabulary: Lateral limits refer to the value a function approaches from either the left (-) or right (+) side of a point.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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Yermahin Carreño
@ermahinarreo_lheeotb
Los límites trigonométricos y el uso de GeoGebra online son herramientas fundamentales para comprender el comportamiento de funciones matemáticas.
Para graficar límites en GeoGebra, es esencial comprender tanto los conceptos básicos como las aplicaciones avanzadas. La plataforma permite visualizar... Mostrar más
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La función a trozos f(x) = {2x+3 si x≤2; x²+1 si x>2} nos permite explorar los límites infinitos en GeoGebra y analizar la continuidad en GeoGebra. Al evaluar los límites laterales, observamos comportamientos distintos según nos aproximemos por la izquierda o por la derecha.
Definición: Una función a trozos es aquella definida por diferentes expresiones algebraicas según intervalos específicos del dominio.
Para determinar los límites laterales, analizamos el comportamiento cuando x→-∞, x→+∞, y x→2 por ambos lados. Al evaluar lim(x→-∞) f(x), la expresión 2x+3 tiende a -∞. Para lim(x→+∞) f(x), x²+1 tiende a +∞. En x=2, tenemos diferentes valores según el lado de aproximación: lim(x→2-) f(x)=7 y lim(x→2+) f(x)=5.
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Destacado: La factorización es una herramienta esencial para resolver límites indeterminados.
El proceso de resolución implica factorizar tanto numerador como denominador, identificar factores comunes y simplificar la expresión hasta obtener una forma determinada. En este caso, tras la simplificación algebraica, obtenemos el valor límite de 1/4 o 0.25.
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The complete piecewise function is now defined as:
f(x) = { x + 1, x < 1 4x - 2, 1 ≤ x ≤ 2 3x, x > 2
Example: The graph in GeoGebra shows smooth transitions at x = 1 and x = 2, confirming the function's continuity.
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The lateral limits to be determined are:
Example: For lim f(x) as x → -∞, we evaluate 2(-∞) + 3 = -∞
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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