Introducción a las Matrices y Operaciones Básicas

Este documento proporciona una visión general de los conceptos fundamentales de las matrices en álgebra lineal. Se inicia con la definición de una matriz y su dimensión, explicando cómo se compone de filas y columnas.

Definición: Una matriz es una disposición rectangular de números en filas y columnas, representada como A = [aij], donde i indica la fila y j la columna.

Se introduce el concepto de matriz traspuesta, que se obtiene intercambiando las filas por columnas de la matriz original. El producto de matrices se explica brevemente, destacando la importancia de que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

Highlight: Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

El documento continúa con la definición de la inversa de una matriz y las condiciones para su existencia. Se menciona que una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante no es nulo. También se introduce el concepto de rango de una matriz, definiéndolo como el número de filas o columnas linealmente independientes.

Se proporciona una explicación detallada sobre el cálculo de determinantes para matrices 2x2 y 3x3, incluyendo las fórmulas específicas para cada caso. Además, se presenta la fórmula para calcular la inversa de una matriz utilizando su determinante y la matriz adjunta.

Finalmente, el documento aborda los sistemas de ecuaciones lineales, representándolos en forma matricial como AX = B. Se clasifican los sistemas según sus soluciones en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles, basándose en el rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Ejemplo: Un sistema compatible determinado tiene una única solución y cumple que RgA = RgA* = n, donde n es el número de incógnitas.

Se mencionan brevemente dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método de Cramer, aplicable a sistemas compatibles determinados, y el método de Gauss, que implica la reducción del sistema a una forma escalonada.