Ecuaciones y Características de las Cónicas

Este documento presenta una visión general de las cuatro secciones cónicas principales: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Cada cónica se define por su ecuación característica y sus propiedades geométricas específicas.

Definición: Las cónicas son curvas que resultan de la intersección de un plano con un cono doble. Su ecuación general es de la forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0.

Circunferencia

La circunferencia es la más simple de las cónicas. Su ecuación estándar es:

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

Donde (x₀, y₀) es el centro y r es el radio.

Highlight: La circunferencia es el único tipo de cónica que tiene todos sus puntos equidistantes de un punto central.

Elipse

La ecuación estándar de una elipse es:

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1

Donde (x₀, y₀) es el centro, y a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.

Vocabulary: Los focos de una elipse son dos puntos fijos en el eje mayor, cuya suma de distancias a cualquier punto de la elipse es constante.

Parábola

Las ecuaciones de la parábola se presentan en dos formas, dependiendo de su orientación:

y = y₀ + k(x - x₀)² (eje vertical) x = x₀ + k(y - y₀)² (eje horizontal)

Donde (x₀, y₀) es el vértice de la parábola.

Hipérbola

La hipérbola tiene dos ecuaciones estándar, dependiendo de la orientación de su eje transverso:

(x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = 1 (eje horizontal) (y - y₀)²/a² - (x - x₀)²/b² = 1 (eje vertical)

Donde (x₀, y₀) es el centro de la hipérbola.

Example: En una hipérbola con eje horizontal, los vértices están en los puntos (x₀ ± a, y₀).

Excentricidad

La excentricidad (e) es una medida de cuánto una cónica se desvía de ser circular:

• Circunferencia: e = 0
• Elipse: 0 < e < 1
• Parábola: e = 1
• Hipérbola: e > 1

Highlight: La excentricidad es un parámetro crucial para distinguir entre los diferentes tipos de cónicas y determinar su forma específica.

Este resumen proporciona una base sólida para entender las ecuaciones de las cónicas y sus características principales, esencial para el estudio de la geometría analítica y sus aplicaciones en física y ingeniería.