Andres David Ochoa Pineda
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Las cónicas son curvas geométricas fundamentales en matemáticas, incluyendo la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Cada una tiene características y ecuaciones únicas que definen su forma y propiedades.
20/6/2024
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Este documento presenta una visión general de las cuatro secciones cónicas principales: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Cada cónica se define por su ecuación característica y sus propiedades geométricas específicas.
Definición: Las cónicas son curvas que resultan de la intersección de un plano con un cono doble. Su ecuación general es de la forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
La circunferencia es la más simple de las cónicas. Su ecuación estándar es:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
Donde (x₀, y₀) es el centro y r es el radio.
Highlight: La circunferencia es el único tipo de cónica que tiene todos sus puntos equidistantes de un punto central.
La ecuación estándar de una elipse es:
(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1
Donde (x₀, y₀) es el centro, y a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.
Vocabulary: Los focos de una elipse son dos puntos fijos en el eje mayor, cuya suma de distancias a cualquier punto de la elipse es constante.
Las ecuaciones de la parábola se presentan en dos formas, dependiendo de su orientación:
y = y₀ + k(x - x₀)² (eje vertical) x = x₀ + k(y - y₀)² (eje horizontal)
Donde (x₀, y₀) es el vértice de la parábola.
La hipérbola tiene dos ecuaciones estándar, dependiendo de la orientación de su eje transverso:
(x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = 1 (eje horizontal) (y - y₀)²/a² - (x - x₀)²/b² = 1 (eje vertical)
Donde (x₀, y₀) es el centro de la hipérbola.
Example: En una hipérbola con eje horizontal, los vértices están en los puntos (x₀ ± a, y₀).
La excentricidad (e) es una medida de cuánto una cónica se desvía de ser circular:
Highlight: La excentricidad es un parámetro crucial para distinguir entre los diferentes tipos de cónicas y determinar su forma específica.
Este resumen proporciona una base sólida para entender las ecuaciones de las cónicas y sus características principales, esencial para el estudio de la geometría analítica y sus aplicaciones en física y ingeniería.
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(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
Donde (x₀, y₀) es el centro y r es el radio.
Highlight: La circunferencia es el único tipo de cónica que tiene todos sus puntos equidistantes de un punto central.
La ecuación estándar de una elipse es:
(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1
Donde (x₀, y₀) es el centro, y a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.
Vocabulary: Los focos de una elipse son dos puntos fijos en el eje mayor, cuya suma de distancias a cualquier punto de la elipse es constante.
Las ecuaciones de la parábola se presentan en dos formas, dependiendo de su orientación:
y = y₀ + k(x - x₀)² (eje vertical) x = x₀ + k(y - y₀)² (eje horizontal)
Donde (x₀, y₀) es el vértice de la parábola.
La hipérbola tiene dos ecuaciones estándar, dependiendo de la orientación de su eje transverso:
(x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = 1 (eje horizontal) (y - y₀)²/a² - (x - x₀)²/b² = 1 (eje vertical)
Donde (x₀, y₀) es el centro de la hipérbola.
Example: En una hipérbola con eje horizontal, los vértices están en los puntos (x₀ ± a, y₀).
La excentricidad (e) es una medida de cuánto una cónica se desvía de ser circular:
Highlight: La excentricidad es un parámetro crucial para distinguir entre los diferentes tipos de cónicas y determinar su forma específica.
Este resumen proporciona una base sólida para entender las ecuaciones de las cónicas y sus características principales, esencial para el estudio de la geometría analítica y sus aplicaciones en física y ingeniería.
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