Conceptos Fundamentales de Derivadas

Este resumen aborda los conceptos clave relacionados con las derivadas de funciones, comenzando con la tasa de variación media y avanzando hacia la definición formal de la derivada y su interpretación geométrica.

La tasa de variación media se define como el cambio promedio de una función en un intervalo [a,b]. Se calcula mediante la fórmula:

Fórmula: TVM = [f(b) - f(a)] / (b - a)

La derivada de una función f(x) en x=a se define como el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo se acerca a cero:

Definición: f'(a) = lim[x→a] [f(x) - f(a)] / (x - a)

La interpretación geométrica de la derivada es fundamental para comprender su significado:

Highlight: La derivada f'(a) en x=a representa la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en el punto a.

Esta interpretación nos permite entender el comportamiento local de la función:

• Si f'(a) > 0, la función es creciente en x = a
• Si f'(a) < 0, la función es decreciente en x = a

El documento también presenta las reglas básicas para calcular derivadas de funciones:

1. Suma: (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)
2. Diferencia: (f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)
3. Producto: (f · g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
4. Por constante: (kf)'(x) = kf'(x)
5. Cociente: (f/g)'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²

Finalmente, se introduce la regla de la cadena para la composición de funciones:

Example: Para derivar f(g(x)), se aplica [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

Estas reglas son esenciales para resolver ejercicios de derivadas y comprender la tasa de variación instantánea de funciones complejas.